А – условная средняя (чаще других повторяющаяся в вариационном ряду)

а – условное отклонение от условной средней (ранг)

i – интервал

1-ый этап - определение середины групп;

2-ой этап – ранжирование групп: 0 присваивается группе, частота встречаемости врианты в которой – наибольшая. Т.е. в данном случае 7-11 (частота -32). Вверх от данной группы ранжирование производится прибавляя (-1). Вниз – прибавка (+1).

3-ий этап – определение условной моды (условная средняя). А –это середина модального интервала. В нашем случае модальным интервалом является 7 -11, таким образом А = 9.

4-ый этап –определение интервала. Интервал во всех группах ряда одинаков и равен 5. i = 5/

5-й этап –определение общего числа наблюдений. n = ∑p = 103.

Подставляем, полученные данные в формулу:

Задания для самостоятельной работы

Используя данные сгруппированного вариационного ряда рассчитайте среднюю арифметическую по способу моментов.

Вариант №1

Вариант №2

Вариант №3

Вариант №4

Вариант №5

Вариант №6

Вариант №7

Вариант №8

Вариант №9

Вариант №10

Вариант №11

Вариант №12

Задача №4 Определение моды и медианы в не сгруппированном вариационном ряду с нечетным количеством вариант

Сроки стационарного лечения больных детей в днях: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20.

Для определения моды в вариационном ряду ранжирование ряда необязательно. Однако, прежде чем определять медиану, необходимо выстроить вариационный ряд в порядке возрастания или убывания.

12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20.

Мода = 16. Т.к. вариант 16 встречается наибольшее число раз (3 раза).

В случае если вариант, имеющих наибольшую частоту встречаемости несколько, то в вариационном ряду может быть указано две и более Моды.

Медиана в ряду с нечетным количеством определяется по формуле:

8 –это порядковый номер медианы в ранжированном вариационном ряду,

т.о. Ме = 17.

Задача №5 Определение моды и медианы в не сгруппированном вариационном ряду с четным количеством вариант.

На основе данных, приведенных в задании, требуется найти моду и медиану

Сроки стационарного лечения больных детей в днях: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20, 11

Строим ранжированный вариационный ряд:

11, 12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20

У нас имеется два срединных числа 16 и 17. В таком случае медиана находится как среднее арифметическое между ними. Me = 16,5.

Средняя арифметическая обладает целым рядом свойств, которые более полно раскрывают ее сущность и упрощают расчет:

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т.е.

2.Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин:

3.Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней равна нулю:

4.Сумма квадратов отклонений вариантов от средней меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой произвольной величины , т.е:

5. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число , то средняя уменьшится на это же число :

6.Если все варианты ряда уменьшить или увеличить в раз, то средняя также уменьшится или увеличится в раз:

7.Если все частоты (веса) увеличить или уменьшить в раз, то средняя арифметическая не изменится:

Этот способ основан на использовании математических свойств средней арифметической величины. В этом случае средняя величина вычисляется по формуле: , где i – величина равного интервала или любое постоянное число не равное 0; m 1 – момент первого порядка, который рассчитывается по формуле: ; А – любое постоянное число.

18 СРЕДНЯЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОСТАЯ И ВЗВЕШЕННАЯ .

Средняя гармоническая используется в случаях, кода неизвестны частоты (f i), а известен объем изучаемого признака (x i *f i =M i).

По примеру 2 определим среднюю заработную плату в 2001г.

В исходной информации 2001г. нет данных о количестве работников, однако ее нетрудно рассчитать как отношение фонда оплаты труда к средней зарплате.

Тогда 2769,4 руб., т.е. средняя зарплата в 2001г. –2769,4 руб.

В данном случае использована средняя гармоническая: ,

где М i –фонд оплаты труда в отдельном цеху; x i –зарплата в отдельном цеху.

Следовательно, средняя гармоническая применяется тогда, когда неизвестен один из сомножителей, но известно произведение «М».

Средняя гармоническая используется для расчета средней производительности труда, среднего процента выполнения норм, средней зарплаты и т.д.

Если произведения «М» равны между собой, то используется средняя гармоническая простая: , где n – число вариант.

СРЕДНЯЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И СРЕДНЯЯ ХРОНОЛОГИЧЕСКАЯ.

Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин, как отношения каждого уровня ряда к предыдущему уровню.

, - цепные коэффициенты роста;

n – число цепных коэффициентов роста.

Если исходные данные даны по состоянию на определенные даты, то средний уровень признака определяется по формуле средней хронологической. Если промежутками между датами (моментами) равные, то средний уровень определяется по формуле средней хронологической простой..

Рассмотрим ее расчет на конкретных примерах.

Пример. Имеются следующие данные об остатках вкладов населения в банках России в первом полугодии 1997 г. (на начало месяца):

Средний остаток вкладов населения за первое полугодие 1997 г. (по формуле средней хронологической простой) составил.

Различают три вида средних величин: мода (М0), медиана (Ме), сред­няя арифметическая (М).

Они не могут подменить друг друга и лишь в со­вокупности достаточно полно и в сжатой форме представляют собой осо­бенности вариационного ряда.

Мода (Мо) - наиболее часто встречающаяся в ряду распределения варианта. Она дает представление о центре распределения вариационного ряда. Используется:

Для определения центра распределения в открытых вариационных рядах

Для определения среднего уровня в рядах с резко асимметричным рас­пределением

Медиана - это серединная варианта, центральный член ранжирован­ного ряда. Название медиана взято из геометрии, где так именуется линия, делящая сторону треугольника на две равные части.

Медиана применяется:

Для определения среднего уровня признака в числовых рядах с нерав­ными интервалами в группах

Для определения среднего уровня признака, когда исходные данные представлены в виде качественных признаков и когда единственным способом указать некий центр тяжести совокупности является указа­ние варианты (группы вариант), которая занимает центральное поло­жение

При вычислении некоторых демографических показателей (средней продолжительности предстоящей жизни)

При определении наиболее рационального места расположения учре­ждений здравоохранения, коммунальных учреждений и т. п. (имеется в виду учет оптимальной удаленности учреждений от всех объектов обслуживания)

В настоящее время очень распространены различные опросы (марке­тинговые, социологические и др.), в которых опрашиваемых просят выста­вить баллы изделиям, политикам и т. п. Затем из полученных оценок рас­считывают средние баллы и рассматривают их как интегральные оценки, выставленные коллективом опрошенных. При этом обычно для определе­ния средних показателей применяют среднее арифметическое. Однако та­кой способ на самом деле применять нельзя. Обоснованным в этом случае является использование в качестве средних баллов медианы или моды.

Для характеристики среднего уровня признака наиболее часто ис­пользуется в медицине средняя арифметическая величина (М).

Средняя арифметическая величина - это общая количественная характеристика определенного признака изучаемых явлений, составляю­щих качественно однородную статистическую совокупность.

Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную.

Средняя арифметическая простая вычисляется для не сгруппиро­ванного вариационного ряда путем суммирования всех вариант и делением этой суммы на общее количество вариант, входящих в вариационный ряд.

Вычисляется средняя арифметическая простая по формуле:

М - средняя арифметическая взвешенная,

∑Vp - сумма произведений вариант на их частоты,

n - число наблюдений.

Помимо указанного метода прямого расчета средней арифметической взвешенной, существуют другие методы, в частности, способ моментов при котором несколько упрощены арифметические расчеты.

Расчет средней арифметической способом моментов проводится по формуле:

М = А +	∑dp
n

А - условная средняя (чаще всего в качестве условной средней берет­ся мода М0)

d - отклонение каждой варианты от условной средней (V-A)

∑dp - сумма произведений отклонений на их частоту.

Порядок вычисления представлен в таблице (за условную среднюю принимаем М0 = 76 ударам в минуту).

частота пульса V	Р	d (V-A)	dp
		-16	-16
		-14	-28
		-12	-36
		-10	-30
		-8	-24
		-6	-54
		-4	-24
		-2	-14
	n= 54	| ∑dp= -200

где i - интервал между группами.

Порядок вычисления представлен в табл. (за условную среднюю при­нимаем М 0 = 73 ударам в минуту, где i = 3)

Определение средней арифметической способом моментов

n = 54 ∑dp = -13

М = А +	∑dp	=	73+	-13*3	= 73 - 0,7=72,3 (ударов в минуту
n

Таким образом, полученное значение средней арифметической вели­чины по способу моментов идентично таковому, найденному обычным способом.

Метод моментов приравнивает моменты теоретического распределения к моментам эмпирического распределения (распределения, построенного по наблюдениям). Из полученных уравнений находятся оценки параметров распределения. Например, для распределения с двумя параметрами первые два момента (среднее и дисперсия распределения, соответственно, m и s) будут приравнены первым двум эмпирическим (выборочным) моментам (среднему и дисперсии выборки, соответственно), и затем будет произведено оценивание.

Где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала,

Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора вычисляется среднее значение по способу моментов. Результат решения оформляется в формате Word .

Инструкция . Для получения решения необходимо заполнить исходные данные и выбрать параметры отчета для оформления в Word.

Алгоритм нахождения средней по способу моментов

Пример . Затраты рабочего времени на однородную технологическую операцию распределялись между рабочими следующим образом:

Требуется определить среднюю величину затрат рабочего времени и среднеквадратическое отклонение по способу моментов; коэффициент вариации; моду и медиану.
Таблица для расчета показателей.

Группы	Середина интервала, x i	Кол-во, f i	x i ·f i	Накопленная частота, S	(x-x ) 2 ·f
5 - 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 - 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 - 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 - 30	27.5	30	825	125	700.83
30 - 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 - 40	37.5	10	375	150	2200.28
		150	3400		9620.83

Мода

где x 0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f 2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f 1 – предмодальная частота; f 3 – послемодальная частота.
Выбираем в качестве начала интервала 20, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 22.78 мин.
Медиана
Медианным является интервал 20 - 25, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 23 мин.
.



Находим А = 22.5, шаг интервала h = 5.
Средний квадрат отклонений по способу моментов .

x ц	x * i	x * i f i	2 f i
7.5	-3	-60	180
17.5	-1	-25	25
22.5	0	0	0
27.5	1	30	30
32.5	2	30	60
37.5	3	30	90
		5	385

мин.

Среднее квадратическое отклонение .
мин.
Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.

Пример

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Средняя взвешенная

Среднее значение изучаемого признака по способу моментов .

где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала.