Dispozitive

Proiectarea unui punct pe trei plane de proiecții unghiulare de coordonate începe cu obținerea imaginii acestuia pe planul H - planul de proiecție orizontal. Pentru a face acest lucru, un fascicul de proiecție este trecut prin punctul A (Fig. 4.12, a) perpendicular pe planul H.

În figură, perpendiculara pe planul H este paralelă cu axa Oz. Punctul de intersecție al grinzii cu planul H (punctul a) se alege în mod arbitrar. Segmentul Aa determină la ce distanță se află punctul A față de planul H, indicând astfel în mod clar poziția punctului A din figură în raport cu planurile de proiecție. Punctul a este o proiecție dreptunghiulară a punctului A pe planul H și se numește proiecția orizontală a punctului A (fig. 4.12, a).

Pentru a obține o imagine a punctului A pe planul V (Fig. 4.12, b), un fascicul de proiecție este trecut prin punctul A perpendicular pe planul frontal al proiecțiilor V. În figură, perpendiculara pe planul V este paralelă cu axa Oy . Pe planul H, distanța de la punctul A la planul V va fi reprezentată de segmentul aa x, paralel cu axa Oy și perpendicular pe axa Ox. Dacă ne imaginăm că raza proiectată și imaginea ei sunt efectuate simultan în direcția planului V, atunci când imaginea razei intersectează axa Ox în punctul a x, raza va intersecta planul V în punctul a." Desen din punctul ax din planul V o perpendiculară pe axa Ox, care este imaginea razei proiectante Aa pe planul V, la intersecția cu raza proiectantă, se obține punctul a." Punctul a" este proiecția frontală a punctului A, adică imaginea acestuia pe planul V.

Imaginea punctului A pe planul de proiecție a profilului (Fig. 4.12, c) este construită folosind un fascicul proiectat perpendicular pe planul W În figură, perpendiculara pe planul W este paralelă cu axa Ox. Raza proiectată din punctul A în planul W pe planul H va fi reprezentată printr-un segment aa y, paralel cu axa Ox și perpendicular pe axa Oy. Din punctul Oy, paralel cu axa Oz și perpendicular pe axa Oy, se construiește o imagine a razei proiectante aA și la intersecția cu raza proiectantă se obține punctul a." Punctul a" este o proiecție de profil a punctului A , adică o imagine a punctului A pe planul W.

După ce au primit trei proiecții ale punctului A pe planurile de proiecție, unghiul de coordonate este extins într-un singur plan, așa cum se arată în Fig. 4.11,b, împreună cu proiecțiile punctului A și razele proeminente, și punctul A și razele proeminente Aa, Aa" și Aa" sunt îndepărtate. Muchiile planurilor de proiecție combinate nu sunt desenate, ci sunt desenate doar axele de proiecție Oz, Oy și Ox, Oy 1 (Fig. 4.13).

Analiza desenului ortogonal al punctului arată că trei distanțe - Aa", Aa și Aa" (Fig. 4.12, c), care caracterizează poziția punctului A în spațiu, pot fi determinate prin aruncarea obiectului de proiecție în sine - punctul A, pe un unghi de coordonate transformat într-un singur plan (Fig. 4.13). Segmentele a"a z, aa y și Oa x sunt egale cu Aa" ca laturi opuse ale dreptunghiurilor corespunzătoare (Fig. 4.12c și 4.13). Ele determină distanța la care punctul A este situat față de planul de proiecție a profilului. Segmentele a"a x, a"a y1 și Oa y sunt egale cu segmentul Aa, definind distanța de la punctul A la planul orizontal de proiecție, segmentele aa x, a"a z și Oa y 1 sunt egale cu segmentul Aa ", definind distanța de la punctul A la planul frontal al proiecțiilor.

Segmentele Oa x, Oa y și Oa z, situate pe axele de proiecție, sunt o expresie grafică a dimensiunilor coordonatelor X, Y și Z ale punctului A. Coordonatele punctului sunt indicate cu indexul literei corespunzătoare. . Măsurând dimensiunea acestor segmente, puteți determina poziția punctului în spațiu, adică setați coordonatele punctului.

Pe diagramă, segmentele a"a x și aa x sunt situate ca o singură dreaptă perpendiculară pe axa Ox, iar segmentele a"a z și a"a z - pe axa Oz. Aceste linii se numesc linii de legătură de proiecție. Ele intersectează axele de proiecție în punctele ax și respectiv a z Linia de legătură a proiecției care leagă proiecția orizontală a punctului A cu cea a profilului s-a dovedit a fi „tăiată” în punctul a y.

Două proiecții ale aceluiași punct sunt întotdeauna situate pe aceeași linie de conexiune de proiecție, perpendiculară pe axa proiecțiilor.

Pentru a reprezenta poziția unui punct în spațiu, sunt suficiente două dintre proiecțiile sale și o origine dată (punctul O). 4.14, b două proiecții ale unui punct determină complet poziția acestuia în spațiu Folosind aceste două proiecții, este posibil să se construiască o proiecție de profil a punctului A. Prin urmare, în viitor, dacă nu este nevoie de o proiecție de profil, diagramele vor fi. să fie construit pe două planuri de proiecție: V și H.

Orez. 4.14. Orez. 4.15.

Să ne uităm la câteva exemple de construire și citire a unui desen al unui punct.

Exemplul 1. Determinarea coordonatelor punctului J specificate pe diagramă în două proiecții (Fig. 4.14). Se măsoară trei segmente: segmentul OB X (coordonată X), segmentul b X b (coordonată Y) și segmentul b X b" (coordonată Z). Coordonatele se scriu în următoarea ordine: X, Y și Z, după litera desemnarea punctului, de exemplu, B20;

Exemplul 2. Construirea unui punct la coordonate date. Punctul C este dat de coordonatele C30; 10; 40. Pe axa Ox (Fig. 4.15) găsiți punctul c x în care linia de legătură a proiecției intersectează axa de proiecție. Pentru a face acest lucru, coordonata X (dimensiunea 30) este trasată de-a lungul axei Ox de la origine (punctul O) și se obține un punct cu x. Prin acest punct este trasată o linie de conexiune de proiecție perpendiculară pe axa Ox și coordonata Y (dimensiunea 10) este stabilită din punct, se obține un punct c - o proiecție orizontală a punctului C. Coordonata Z (dimensiunea 40) este trasat în sus de la punctul c x de-a lungul liniei de conectare a proiecției (dimensiunea 40), se obține un punct c" - proiecția frontală a punctului C.

Exemplul 3. Construirea unei proiecții de profil a unui punct folosind proiecții date. Sunt date proiecțiile punctului D - d și d". Prin punctul O se desenează axele de proiecție Oz, Oy și Оу 1 (Fig. 4.16, a). Pentru a construi o proiecție de profil a punctului D punctul d", o proiecție linia de conectare este trasată perpendicular pe axa Oz și o continuă spre dreapta în spatele axei Oz. Proiecția de profil a punctului D va fi situată pe această linie Va fi situată la aceeași distanță de axa Oz ca și proiecția orizontală a punctului d: față de axa Ox, adică la o distanță dd x. Segmentele d z d" și dd x sunt aceleași, deoarece definesc aceeași distanță - distanța de la punctul D la planul frontal al proiecțiilor. Această distanță este coordonata Y a punctului D.

Grafic, segmentul d z d" se construiește prin transferul segmentului dd x din planul orizontal de proiecție pe cel de profil. Pentru a face acest lucru, trasați o linie de legătură de proiecție paralelă cu axa Ox, obțineți un punct d y pe axa Oy ( Fig. 4.16, b Apoi transferați dimensiunea segmentului Od y pe axa Oy 1, prin trasarea unui arc din punctul O cu raza egală cu segmentul Od y până la intersecția cu axa Oy 1 (Fig. 4.16). , b), se obține punctul dy 1. Acest punct poate fi construit, așa cum se arată în Fig. 4.16, c, prin trasarea unei linii drepte la un unghi de 45° față de axa Oy din punctul d y1, se trasează o linie de legătură de proiecție paralelă cu axa Oz și se așează pe ea un segment egal cu segmentul d"d x, se obține punctul d.

Transferarea valorii segmentului d x d în planul de profil al proiecțiilor se poate face folosind linia dreaptă constantă a desenului (Fig. 4.16, d). În acest caz, linia de conectare a proiecției dd y este trasată prin proiecția orizontală a punctului paralel cu axa Oy 1 până când se intersectează cu o dreaptă constantă și apoi paralelă cu axa Oy până când se intersectează cu continuarea proiecției. linia de legătură d"d z.

Cazuri speciale de localizare a punctelor în raport cu planurile de proiecție

Poziția unui punct în raport cu planul de proiecție este determinată de coordonatele corespunzătoare, adică dimensiunea segmentului liniei de conectare a proiecției de la axa Ox la proiecția corespunzătoare. În fig. 4.17 coordonata Y a punctului A este determinată de segmentul aa x - distanța de la punctul A la planul V. Coordonata Z a punctului A este determinată de segmentul a "a x - distanța de la punctul A la planul H. Dacă unul a coordonatelor este zero, atunci punctul este situat pe planul de proiecție. Figura 4.17 prezintă exemple de locații diferite ale punctelor în raport cu planurile de proiecție. Coordonata Z a punctului B este egală cu zero, punctul este situat în planul H. Proiecția sa frontală este pe axa Ox și coincide cu punctul b x Coordonata Y a punctului C este egală cu zero, punctul este situat pe planul V, proiecția sa orizontală c este pe axa Ox și coincide cu punctul c x.

Prin urmare, dacă un punct se află pe planul de proiecție, atunci una dintre proiecțiile acestui punct se află pe axa de proiecție.

În fig. 4.17, coordonatele Z și Y ale punctului D sunt egale cu zero, prin urmare, punctul D este situat pe axa de proiecție Ox și cele două proiecții ale sale coincid.

În cazul proiecției dreptunghiulare, sistemul de planuri de proiecție este format din două planuri de proiecție reciproc perpendiculare (Fig. 2.1). Au convenit să plaseze unul pe orizontală și pe celălalt pe verticală.

Se numește planul de proiecție situat orizontal plan orizontal de proiecție si denota sch, iar planul perpendicular pe acesta este planul frontal al proiecțiilorl 2. Sistemul de planuri de proiecție în sine este notat p/p 2. De obicei se folosesc expresii prescurtate: plan L[, avion n 2. Linia de intersecție a planurilor schŞi la 2 numit axa de proiecțieOH.Împarte fiecare plan de proiecție în două părți - podele. Planul de proiecție orizontal are față și spate, iar planul frontal are etajele superioare și inferioare.

Avioane schŞi n 2împărțiți spațiul în patru părți, numite în sferturiși desemnate cu cifre romane I, II, III și IV (vezi Fig. 2.1). Primul sfert este partea de spațiu limitată de planurile de proiecție orizontale goale frontale superioare și anterior. Pentru sferturile rămase de spațiu, definițiile sunt similare cu cea anterioară.

Toate desenele de inginerie mecanică sunt imagini construite pe același plan. În fig. 2.1 sistemul de planuri de proiecție este spațial. Pentru a trece la imagini din același plan, am convenit să combinăm planurile de proiecție. De obicei plat n 2 rămas nemişcat, iar avionul P rotiți în direcția indicată de săgeți (vezi Fig. 2.1) în jurul axei OH la un unghi de 90° până când se aliniază cu planul n 2. Cu această rotație, podeaua frontală a planului orizontal coboară, iar spatele urcă. După ce combină avioanele cu care arată

căsătorit cu fig. 2.2. Se crede că planurile de proiecție sunt opace și observatorul este întotdeauna în primul trimestru. În fig. 2.2 desemnarea planurilor care sunt invizibile după combinarea etajelor este luată între paranteze, așa cum este obișnuit pentru evidențierea figurilor invizibile în desene.

Punctul proiectat poate fi situat în orice sferturi de spațiu sau pe orice plan de proiecție. În toate cazurile, pentru a construi proiecții, prin ea se trasează linii de proiecție și se găsesc punctele lor de întâlnire cu planurile 711 și 712, care sunt proiecții.

Luați în considerare proiecția unui punct situat în primul trimestru. Sunt specificate sistemul de planuri de proiecție 711/712 și punctul O(Fig. 2.3). Prin ea sunt trasate două LINEI drepte, perpendiculare pe PLANURI 71) ȘI 71 2. Unul dintre ei va intersecta planul 711 într-un punct A ", numit proiecția orizontală a punctului A, iar celălalt este planul 71 2 la punct A ", numit proiecția frontală a punctului A.

Proiectarea liniilor drepte AA"Şi AA" determinați planul de proiecție a. Este perpendicular pe planuri Kip 2,întrucât trece prin perpendicularele pe acestea și intersectează planele de proiecție de-a lungul unor drepte Un „Ah și un „Ah. Axa de proiecție OH perpendicular pe planul os, ca linie de intersecție a două plane 71| și 71 2, perpendicular pe al treilea plan (a) și, prin urmare, pe orice linie dreaptă care se află în el. În special, 0X1A"A xŞi 0X1A „Ah.

La combinarea avioanelor, un segment A „Ah, plat la 2, rămâne nemișcat, iar segmentul A „A xîmpreună cu planul 71) vor fi rotite în jurul axei OH până când se aliniază cu planul 71 2. Vedere a planurilor de proiecție combinate împreună cu proiecțiile punctuale O prezentată în fig. 2.4, O. După combinarea punctului A", Ax și A" va fi situat pe o singură linie dreaptă, perpendiculară pe axă OH. Aceasta înseamnă că două proiecții ale aceluiași punct

se află pe o perpendiculară comună pe axa de proiecție. Această perpendiculară care leagă două proiecții ale aceluiași punct se numește linie de comunicare de proiecție.

Desenul din Fig. 2.4, O poate fi foarte simplificat. Denumirile planurilor de proiecție combinate nu sunt marcate în desene și dreptunghiurile care limitează în mod convențional planurile de proiecție nu sunt reprezentate, deoarece planurile sunt nelimitate. Desen punct simplificat O(Fig. 2.4, b) numit si diagramă(din franceză ?pură - desen).

Arată în Fig. 2.3 patrulater AE4 "A H A" este un dreptunghi și laturile sale opuse sunt egale și paralele. Prin urmare, distanța de la punct O a aviona P, măsurată printr-un segment AA", în desen este determinat de segment Un „Ah. Segmentul A „A x = AA” vă permite să judecați distanța de la un punct O a aviona la 2. Astfel, desenul unui punct oferă o imagine completă a locației acestuia în raport cu planurile de proiecție. De exemplu, conform desenului (vezi Fig. 2.4, b) se poate argumenta că ideea O situat în primul sfert și departe de avion n 2 la o distanţă mai mică decât de avion din moment ce A „A x Un „Ah.

Să trecem la proiectarea unui punct în al doilea, al treilea și al patrulea sferturi de spațiu.

La proiectarea unui punct ÎN, situat în al doilea trimestru (Fig. 2.5), după combinarea planurilor, ambele proiecții ale sale vor fi deasupra axei OH.

Proiecția orizontală a punctului C, specificată în al treilea trimestru (Fig. 2.6), este situată deasupra axei OH, iar cel din față este mai jos.

Punctul D prezentat în fig. 2.7, situat în al patrulea trimestru. După combinarea planurilor de proiecție, ambele proiecții vor fi sub axă OH.

Comparând desenele punctelor situate în diferite sferturi de spațiu (vezi Fig. 2.4-2.7), puteți observa că fiecare este caracterizat de propria sa locație a proiecțiilor în raport cu axa proiecțiilor OH.

În cazuri speciale, punctul proiectat se poate afla pe planul de proiecție. Apoi, una dintre proiecțiile sale coincide cu punctul însuși, iar cealaltă va fi situată pe axa proiecțiilor. De exemplu, pentru un punct E,întins într-un avion sch(Fig. 2.8), proiecția orizontală coincide cu punctul în sine, iar cea frontală este pe axă OH. La punctul E, situat într-un avion la 2(Fig. 2.9), proiecție orizontală pe axă OH, iar cea din față coincide cu punctul însuși.

Un punct, ca concept matematic, nu are dimensiuni. Evident, dacă obiectul proiecției este un obiect cu dimensiuni zero, atunci vorbirea despre proiecția sa este lipsită de sens.

Fig.9 Fig.10

În geometrie, este recomandabil să se considere un punct ca un obiect fizic care are dimensiuni liniare. În mod convențional, o minge cu o rază infinitezimală poate fi luată ca punct. Cu această interpretare a conceptului de punct, putem vorbi despre proiecțiile acestuia.

Când construim proiecții ortogonale ale unui punct, trebuie să ne ghidăm după prima proprietate invariantă a proiecției ortogonale: Proiecția ortogonală a unui punct este un punct.

Poziția unui punct în spațiu este determinată de trei coordonate: X, Y, Z, arătând distanţele la care un punct este îndepărtat din planurile de proiecţie. Pentru a determina aceste distanțe, este suficient să determinați punctele de întâlnire ale acestor drepte cu planurile de proiecție și să măsurați mărimile corespunzătoare, care vor indica în mod corespunzător valorile absciselor. X, ordonate Yși degete Z puncte (Fig. 10).

Proiecția unui punct este baza perpendicularei trase din punct pe planul de proiecție corespunzător. Proiecție orizontală puncte O se numește proiecție dreptunghiulară a unui punct pe un plan orizontal de proiecție, proiecție frontală a /– respectiv pe planul frontal al proiecţiilor şi profil a // – pe planul de profil al proiecţiilor.

Direct Aa, Aa /Şi Aa // se numesc linii proiectante. În același timp, direct Ah, punct de proiectare O pe planul orizontal al proiecțiilor se numește linie dreaptă proiectată orizontal, Aa /Şi Aa //- respectiv: frontalŞi linii de proiectare a profilului.

Două linii de proiecție care trec printr-un punct O definiți un plan, care este de obicei numit proiectand.

La transformarea aspectului spațial, proiecția frontală a punctului A – a / rămâne pe loc, ca aparținând unui plan care nu își schimbă poziția în timpul transformării luate în considerare. proiecție orizontală - Oîmpreună cu planul orizontal de proiecție se va roti în sensul mișcării acelor de ceasornic și va fi situat la una perpendiculară pe axă. X cu proiecție frontală. proiecție profil - a // se va roti odată cu planul profilului și până la sfârșitul transformării va lua poziția indicată în Figura 10. În acest caz - a // va aparține perpendicularei pe axă Z trase din punct A /și va fi îndepărtat de pe axă Z la aceeași distanță cu proiecția orizontală O departe de axă X. Prin urmare, legătura dintre proiecțiile orizontale și de profil ale unui punct poate fi stabilită folosind două segmente ortogonale aa yŞi a da //și arcul de cerc care le conectează cu centrul în punctul de intersecție a axelor ( DESPRE– originea coordonatelor). Conexiunea marcată este folosită pentru a găsi proiecția lipsă (date două date). Poziția proiecției profilului (orizontală) conform proiecțiilor orizontale (profilului) și frontală date poate fi găsită folosind o linie dreaptă trasată la un unghi de 45 0 de la origine la axă. Y(această bisectoare se numește linie dreaptă k– constanta Monge). Prima dintre aceste metode este de preferat deoarece este mai precisă.

Din aceasta rezultă:

1. Un punct din spațiu este eliminat:

din planul orizontal H Z,

din planul frontal V prin valoarea unei coordonate date Y,

din planul profilului W prin valoarea coordonatei. X.

2. Două proiecții ale oricărui punct aparțin aceleiași perpendiculare (o linie de legătură):

orizontală și frontală – perpendicular pe ax X,

orizontală și de profil – perpendicular pe axa Y,

frontală și de profil - perpendicular pe axa Z.

3. Poziția unui punct în spațiu este complet determinată de poziția celor două proiecții ortogonale ale sale. Din aceasta rezultă - Folosind oricare două proiecții ortogonale date ale unui punct, este întotdeauna posibil să se construiască a treia proiecție lipsă.

Dacă un punct are trei coordonate specifice, atunci se numește un astfel de punct punct de poziţie generală. Dacă un punct are una sau două coordonate care au o valoare zero, atunci se numește un astfel de punct punct privat.

Orez. 11 Fig. 12

Figura 11 prezintă un desen spațial al punctelor cu o anumită poziție, iar Figura 12 prezintă desene (diagrame) complexe ale acestor puncte. Punct O aparține planului frontal al proiecțiilor, punct ÎN– plan orizontal de proiecție, punct CU– planul și punctul de proiecție al profilului D– axa x ( X).

Suprafețele poliedrelor, așa cum se știe, sunt limitate de figuri plane. În consecință, punctele definite pe suprafața unui poliedru de cel puțin o proiecție sunt, în cazul general, puncte definite. Același lucru este valabil și pentru suprafețele altor corpuri geometrice: cilindru, con, bilă și tor, delimitate de suprafețe curbe.

Să fim de acord să descriem punctele vizibile aflate pe suprafața corpului ca cercuri, punctele invizibile ca cercuri înnegrite (puncte); Liniile vizibile vor fi reprezentate ca linii continue, iar liniile invizibile ca linii întrerupte.

Să fie dată proiecția orizontală A 1 a punctului A aflat pe suprafața unei prisme triunghiulare dreptunghiulare (Fig. 162, a).

TBegin-->Tend-->

După cum se poate observa din desen, bazele din față și din spate ale prismei sunt paralele cu planul frontal al proiecțiilor P 2 și sunt proiectate pe acesta fără distorsiuni, fața laterală inferioară a prismei este paralelă cu planul orizontal al proiecțiilor P. 1 și este, de asemenea, proiectat fără distorsiuni. Marginile laterale ale prismei sunt linii drepte care se proiectează în față, prin urmare sunt proiectate sub formă de puncte pe planul frontal al proiecțiilor P 2.

Din moment ce proiecția A 1. este reprezentat de un cerc de lumină, apoi punctul A este vizibil și, prin urmare, este situat pe partea dreaptă a prismei. Această față este un plan frontal, iar proiecția frontală a punctului A2 trebuie să coincidă cu proiecția frontală a planului, reprezentată printr-o linie dreaptă.

Trasând o dreaptă constantă k 123, găsim a treia proiecție A 3 a punctului A. Când este proiectat pe planul de profil al proiecțiilor, punctul A va fi invizibil, de aceea punctul A 3 este reprezentat ca un cerc înnegrit. Specificarea punctului prin proiecția frontală B 2 este incertă, deoarece nu determină distanța punctului B de la baza frontală a prismei.

Să construim o proiecție izometrică a prismei și a punctului A (Fig. 162, b). Este convenabil să începeți construcția de la baza frontală a prismei. Construim un triunghi de baza dupa dimensiunile luate din desenul complex; de-a lungul axei y" trasăm mărimea muchiei prismei. Construim imaginea axonometrică A" a punctului A folosind o linie întreruptă de coordonate, conturată în ambele desene cu o linie dublă subțire.

Să fie dată o proiecție frontală C 2 a unui punct C situat pe suprafața unei piramide patruunghiulare regulate definite de două proiecții principale (Fig. 163, a). Este necesar să se construiască trei proiecții ale punctului C.

Din proiecția frontală se poate observa că vârful piramidei este mai înalt decât baza pătrată a piramidei. În această condiție, toate cele patru fețe laterale vor fi vizibile atunci când sunt proiectate pe planul orizontal al proiecțiilor P 1. Când proiectați proiecțiile P2 pe planul frontal, va fi vizibilă doar fața frontală a piramidei. Deoarece proiecția C 2 este prezentată în desen ca un cerc de lumină, punctul C este vizibil și aparține feței frontale a piramidei. Pentru a construi o proiecție orizontală C 1, trasăm prin punctul C 2 o dreaptă auxiliară D 2 E 2, paralelă cu linia bazei piramidei. Găsim proiecția sa orizontală D 1 E 1 și punctul C 1 pe ea Dacă există o a treia proiecție a piramidei, găsim proiecția orizontală a punctului C 1 mai simplu: după ce am găsit proiecția de profil C 3, folosind două proiecții. construiți un al treilea folosind linii de comunicare orizontale și orizontale-verticale. Progresul construcției este prezentat în desen prin săgeți.

TBegin-->
TEnd-->

Să construim o proiecție dimetrică a piramidei și a punctului C (Fig. 163, b). Construim baza piramidei; pentru a face acest lucru, prin punctul O" luat pe axa r", desenăm axele x" și y"; De-a lungul axei x trasăm dimensiunile reale ale bazei, iar de-a lungul axei y trasăm dimensiunile înjumătățite. Prin punctele obtinute trasam drepte paralele cu axele x" si y". De-a lungul axei z" trasăm înălțimea piramidei; conectăm punctul rezultat cu punctele bazei, ținând cont de vizibilitatea marginilor. Pentru a construi punctul C, folosim o linie întreruptă de coordonate, conturată în desene cu o linie dublă subțire Pentru a verifica acuratețea soluției, trasăm prin punctul găsit C o dreaptă D „E”, axa x paralelă. Lungimea sa trebuie să fie egală cu lungimea dreptei D 2 E 2 (sau D 1 E 1).

În acest articol vom găsi răspunsuri la întrebări despre cum să creați o proiecție a unui punct pe un plan și cum să determinați coordonatele acestei proiecții. În partea teoretică ne vom baza pe conceptul de proiecție. Vom defini termenii și vom oferi informații cu ilustrații. Să consolidăm cunoștințele dobândite prin rezolvarea de exemple.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Proiecție, tipuri de proiecție

Pentru comoditatea vizualizării figurilor spațiale, se folosesc desene care ilustrează aceste figuri.

Definiția 1

Proiectia unei figuri pe un plan– desenul unei figuri spațiale.

Evident, există o serie de reguli folosite pentru a construi o proiecție.

Definiția 2

Proiecție– procesul de construire a unui desen al unei figuri spațiale pe un plan folosind reguli de construcție.

Planul de proiecție- acesta este planul în care este construită imaginea.

Utilizarea anumitor reguli determină tipul de proiecție: central sau paralel.

Un caz special de proiecție paralelă este proiecția perpendiculară sau ortogonală: în geometrie este utilizat în principal. Din acest motiv, în vorbire, adjectivul „perpendicular” în sine este adesea omis: în geometrie se spune pur și simplu „proiectarea unei figuri” și prin aceasta se referă la construirea unei proiecții folosind metoda proiecției perpendiculare. În cazuri speciale, desigur, se poate conveni altceva.

Să remarcăm faptul că proiecția unei figuri pe un plan este în esență o proiecție a tuturor punctelor acestei figuri. Prin urmare, pentru a putea studia o figură spațială într-un desen, este necesar să dobândești abilitățile de bază de a proiecta un punct pe un plan. Despre ce vom vorbi mai jos.

Să reamintim că cel mai adesea în geometrie, când vorbim despre proiecția pe un plan, se referă la utilizarea unei proiecții perpendiculare.

Să facem construcții care să ne dea posibilitatea de a obține o definiție a proiecției unui punct pe un plan.

Să presupunem că este dat un spațiu tridimensional, iar în el există un plan α și un punct M 1 care nu aparține planului α. Desenați o dreaptă prin punctul dat M O perpendicular pe un plan dat α. Notăm punctul de intersecție al dreptei a și planului α ca H 1 prin construcție, acesta va servi ca bază a unei perpendiculare coborâte din punctul M 1 în planul α;

Dacă este dat un punct M2, aparținând unui plan dat α, atunci M2 va servi ca proiecție a lui însuși pe planul α.

Definiția 3

- acesta este fie punctul însuși (dacă aparține unui plan dat), fie baza unei perpendiculare căzute dintr-un punct dat într-un plan dat.

Găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe un plan, exemple

Să fie date în spațiul tridimensional următoarele: un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z, un plan α, un punct M 1 (x 1, y 1, z 1). Este necesar să se găsească coordonatele proiecției punctului M 1 pe un plan dat.

Soluția rezultă în mod evident din definiția dată mai sus a proiecției unui punct pe un plan.

Să notăm proiecția punctului M 1 pe planul α ca H 1 . Conform definiției, H 1 este punctul de intersecție al unui plan dat α și o dreaptă a trasă prin punctul M 1 (perpendicular pe plan). Aceste. Coordonatele proiecției punctului M 1 de care avem nevoie sunt coordonatele punctului de intersecție a dreptei a și planului α.

Astfel, pentru a găsi coordonatele proiecției unui punct pe un plan este necesar:

Se obține ecuația planului α (dacă nu este specificată). Un articol despre tipurile de ecuații plane vă va ajuta aici;

Determinați ecuația unei drepte a care trece printr-un punct M 1 și perpendicular pe planul α (studiați subiectul despre ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un plan dat);

Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptei a și ale planului α (articol - aflarea coordonatelor punctului de intersecție al planului și al dreptei). Datele obținute vor fi coordonatele de care avem nevoie pentru proiecția punctului M 1 pe planul α.

Să ne uităm la teorie cu exemple practice.

Exemplul 1

Determinați coordonatele proiecției punctului M 1 (- 2, 4, 4) pe planul 2 x – 3 y + z - 2 = 0.

Soluţie

După cum vedem, ne este dată ecuația planului, i.e. nu este nevoie să-l compilați.

Să notăm ecuațiile canonice ale unei drepte a care trece prin punctul M 1 și perpendiculară pe planul dat. În aceste scopuri, determinăm coordonatele vectorului de direcție al dreptei a. Deoarece linia a este perpendiculară pe un plan dat, vectorul direcție al dreptei a este vectorul normal al planului 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Astfel, a → = (2, - 3, 1) – vector de direcție al dreptei a.

Acum vom compune ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu care trece prin punctul M 1 (- 2, 4, 4) și având un vector de direcție a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Pentru a găsi coordonatele necesare, următorul pas este să determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptei x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 și ale planului 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . În aceste scopuri, trecem de la ecuațiile canonice la ecuațiile a două plane care se intersectează:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Să creăm un sistem de ecuații:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Și să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ = - z 140 - 28 = 5

Astfel, coordonatele cerute ale unui punct dat M 1 pe un plan dat α vor fi: (0, 1, 5).

Răspuns: (0 , 1 , 5) .

Exemplul 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z al spațiului tridimensional, sunt date punctele A (0, 0, 2); B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) şi M1 (-1, -2, 5). Este necesar să se găsească coordonatele proiecției M 1 pe planul A B C

Soluţie

În primul rând, notăm ecuația unui plan care trece prin trei puncte date:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Să notăm ecuațiile parametrice ale dreptei a, care va trece prin punctul M 1 perpendicular pe planul A B C. Planul x – 2 y + 2 z – 4 = 0 are un vector normal cu coordonatele (1, -). 2, 2), adică vector a → = (1, - 2, 2) – vector de direcție al dreptei a.

Acum, având coordonatele punctului dreptei M 1 și coordonatele vectorului de direcție al acestei drepte, scriem ecuațiile parametrice ale dreptei în spațiu:

Apoi determinăm coordonatele punctului de intersecție al planului x – 2 y + 2 z – 4 = 0 și dreapta

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Pentru a face acest lucru, înlocuim în ecuația planului:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Acum, folosind ecuațiile parametrice x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, găsim valorile variabilelor x, y și z pentru λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Astfel, proiecția punctului M 1 pe planul A B C va avea coordonate (- 2, 0, 3).

Răspuns: (- 2 , 0 , 3) .

Să ne oprim separat asupra problemei găsirii coordonatelor proiecției unui punct pe planuri de coordonate și planuri care sunt paralele cu planurile de coordonate.

Să fie date punctele M 1 (x 1, y 1, z 1) și planele de coordonate O x y, O x z și O y z. Coordonatele proiecției acestui punct pe aceste plane vor fi, respectiv: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) și (0, y 1, z 1). Să considerăm, de asemenea, planuri paralele cu planurile de coordonate date:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Și proiecțiile unui punct dat M 1 pe aceste plane vor fi puncte cu coordonatele x 1, y 1, - DC, x 1, - D B, z 1 și - D A, y 1, z 1.

Să demonstrăm cum a fost obținut acest rezultat.

Ca exemplu, să definim proiecția punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe planul A x + D = 0. Restul cazurilor sunt similare.

Planul dat este paralel cu planul de coordonate O y z și i → = (1, 0, 0) este vectorul său normal. Același vector servește ca vector de direcție al dreptei perpendiculare pe planul O y z. Atunci ecuațiile parametrice ale unei drepte trasate prin punctul M 1 și perpendiculare pe un plan dat vor avea forma:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Să găsim coordonatele punctului de intersecție al acestei drepte și a planului dat. Să substituim mai întâi egalitățile în ecuația A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 și obținem: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Apoi calculăm coordonatele necesare folosind ecuațiile parametrice ale dreptei cu λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Adică, proiecția punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe plan va fi un punct cu coordonatele - DA, y 1, z 1.

Exemplul 2

Este necesar să se determine coordonatele proiecției punctului M 1 (- 6, 0, 1 2) pe planul de coordonate O x y și pe planul 2 y - 3 = 0.

Soluţie

Planul de coordonate O x y va corespunde ecuației generale incomplete a planului z = 0. Proiecția punctului M 1 pe planul z = 0 va avea coordonate (- 6, 0, 0).

Ecuația plană 2 y - 3 = 0 poate fi scrisă ca y = 3 2 2. Acum doar scrieți coordonatele proiecției punctului M 1 (- 6, 0, 1 2) pe planul y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Răspuns:(- 6 , 0 , 0) și - 6 , 3 2 2 , 1 2

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter