A – medie condiționată (repetată mai des decât altele din seria de variații)

a – abaterea condiționată de la media condiționată (rangul)

i – interval

Etapa 1 - determinarea mijlocului grupelor;

Etapa 2 – clasarea grupelor: 0 se atribuie grupei în care frecvența de apariție a variantei este cea mai mare. Aceste. V în acest caz, 7-11 (frecvența -32). Clasamentul în sus dintr-un grup dat se face prin adăugarea (-1). Jos – crește (+1).

Etapa 3 – determinarea modului condiționat (media condiționată). A este mijlocul intervalului modal. În cazul nostru, intervalul modal este 7 -11, deci A = 9.

Etapa 4 – determinarea intervalului. Intervalul din toate grupele seriei este același și egal cu 5. i = 5/

Etapa 5 – determinarea numărului total de observații. n = ∑p = 103.

Inlocuim datele obtinute in formula:

Sarcini pentru munca independenta

Folosind datele din seria de variații grupate, calculați media aritmetică folosind metoda momentelor.

Opțiunea #1

Opțiunea nr. 2

Opțiunea #3

Opțiunea nr. 4

Opțiunea #5

Opțiunea #6

Opțiunea nr. 7

Opțiunea nr. 8

Opțiunea nr. 9

Opțiunea nr. 10

Opțiunea nr. 11

Opțiunea nr. 12

Sarcina nr. 4 Determinarea modului și a mediei într-o serie de variații negrupate cu un număr impar de opțiuni

Durata tratamentului internat al copiilor bolnavi în zile: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20.

Pentru a determina modul într-o serie de variații, nu este necesară clasarea seriei. Cu toate acestea, înainte de a determina mediana, este necesar să se aranjeze seria de variații în ordine crescătoare sau descrescătoare.

12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20.

Mod = 16. Pentru că apare varianta 16 cel mai mare număr ori (de 3 ori).

Dacă există mai multe variante cu cea mai mare frecvență de apariție, atunci în seria de variații pot fi indicate două sau mai multe moduri.

Mediana dintr-o serie cu un număr impar este determinată de formula:

8 este numărul de serie al medianei din seria de variații clasificate,

Că. Eu = 17.

Sarcina nr. 5 Determinarea modului și a medianei într-o serie de variații negrupate cu un număr par de opțiuni.

Pe baza datelor furnizate în sarcină, trebuie să găsiți modul și mediana

Durata tratamentului internat al copiilor bolnavi în zile: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20, 11

Construim o serie de variații clasificate:

11, 12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20

Avem două numere mediane 16 și 17. În acest caz, mediana se găsește ca medie aritmetică între ele. Eu = 16,5.

Media aritmetică are o serie de proprietăți care dezvăluie mai pe deplin esența sa și simplifică calculele:

1. Produsul mediei prin suma frecvențelor este întotdeauna egal cu suma produselor variantei după frecvențe, adică.

2. Media aritmetică a sumei mărimilor variabile este egală cu suma medielor aritmetice a acestor mărimi:

3. Suma algebrică a abaterilor valorilor individuale ale unei caracteristici de la medie este egală cu zero:

4. Suma abaterilor la pătrat ale opțiunilor de la medie este mai mică decât suma abaterilor la pătrat de la orice altă valoare arbitrară, adică:

5. Dacă toate opțiunile dintr-o serie sunt reduse sau mărite cu același număr, atunci media va scădea cu același număr:

6. Dacă toate opțiunile dintr-un rând sunt reduse sau crescute cu un factor, atunci și cea medie va scădea sau crește cu un factor:

7. Dacă toate frecvențele (ponderile) sunt mărite sau micșorate cu un factor, atunci media aritmetică nu se va modifica:

Această metodă se bazează pe utilizarea proprietăților matematice ale mediei aritmetice. În acest caz, valoarea medie se calculează folosind formula: , unde i este valoarea unui interval egal sau orice număr constant diferit de 0; m 1 – momentul de ordinul întâi, care se calculează prin formula: ; A este orice număr constant.

18 MEDIA ARMONICĂ SIMPLU ȘI PONDERAT.

Mijloace armonică utilizat în cazurile în care frecvențele (f i) sunt necunoscute, dar volumul caracteristicii studiate este cunoscut (x i *f i =M i).

Folosind exemplul 2, determinăm media salariileîn 2001

În informațiile originale 2001. Nu există date despre numărul de angajați, dar este ușor de calculat ca raport dintre fondul de salarii și salariul mediu.

Apoi 2769,4 ruble, adică salariul mediu în 2001 -2769,4 frecare.

În acest caz, se utilizează media armonică: ,

unde M i este fondul de salarii dintr-un atelier separat; x i – salariu într-un atelier separat.

În consecință, media armonică este utilizată atunci când unul dintre factori este necunoscut, dar produsul „M” este cunoscut.

Media armonică este utilizată pentru a calcula productivitatea medie a muncii, procentul mediu de standarde îndeplinite, salariul mediu etc.

Dacă produsele „M” sunt egale între ele, atunci se utilizează primul armonic mediu: , unde n este numărul de opțiuni.

MEDIE GEOMETRICĂ ŞI MEDIE CRONOLOGICĂ.

Media geometrică este utilizată pentru a analiza dinamica fenomenelor și permite determinarea coeficientului mediu de creștere. La calcularea mediei geometrice, valorile individuale ale unei caracteristici reprezintă de obicei indicatori relativi ai dinamicii, construiți sub formă de valori în lanț, ca raport dintre fiecare nivel al unei serii și nivelul anterior.

, - coeficienții de creștere a lanțului;

n – numărul de coeficienți de creștere a lanțului.

Dacă datele sursă sunt date de la anumite date, atunci nivelul mediu al caracteristicii este determinat folosind formula cronologică medie. Dacă intervalele dintre date (momente) sunt egale, atunci nivelul mediu este determinat de formula mediei cronologice simple...

Să ne uităm la calculul său folosind exemple specifice.

Exemplu. Următoarele date sunt disponibile cu privire la soldurile depozitelor gospodăriilor în băncile rusești în prima jumătate a anului 1997 (la începutul lunii):

Soldul mediu al depozitelor gospodăriilor pentru prima jumătate a anului 1997 (după formula medie cronologică simplă) a fost:

Există trei tipuri de valori medii: mod (M0), mediană (Me), medie aritmetică (M).

Ele nu se pot înlocui unul pe altul și doar împreună reprezintă trăsăturile seriei de variații destul de complet și într-o formă condensată.

Moda (lună)- cea mai comună variantă din seria de distribuție. Oferă o idee despre centrul de distribuție al seriei de variații. Folosit:

Pentru a determina centrul de distribuție în serii de variații deschise

Pentru a determina nivelul mediu în serie cu o distribuție puternic asimetrică

Median- aceasta este opțiunea de mijloc, membrul central al seriei clasate. Numele median este preluat din geometrie, unde acesta este numele dat dreptei care împarte latura unui triunghi în două părți egale.

Se aplică mediana:

Pentru a determina nivelul mediu al unei caracteristici în serie de numere cu intervale inegale pe grupe

Pentru a determina nivelul mediu al unei caracteristici, atunci când datele inițiale sunt prezentate sub formă de caracteristici calitative și când singura modalitate de a indica un anumit centru de greutate al populației este indicarea opțiunii (opțiunea de grup) care ocupă o poziție centrală

La calcularea unor indicatori demografici (speranța medie de viață)

La determinarea locației cât mai raționale a instituțiilor de asistență medicală, utilităților publice etc. (adică luarea în considerare a distanței optime a instituțiilor față de toate unitățile de servicii)

În prezent, sunt foarte frecvente diverse sondaje (de marketing, sociologice etc.), în care respondenților li se cere să acorde puncte produselor, politicienilor etc. Apoi, scorurile medii sunt calculate din ratingurile rezultate și considerate ca evaluări integrale acordate de un grup. a respondenţilor. În acest caz, media aritmetică este de obicei utilizată pentru a determina indicatorii medii. Cu toate acestea, această metodă nu poate fi folosită de fapt. În acest caz, este rezonabil să folosiți mediana sau modul ca scoruri medii.

Pentru a caracteriza nivelul mediu al unei trăsături, media aritmetică (M) este cel mai des folosită în medicină.

Media aritmetică - aceasta este o caracteristică cantitativă generală a unei anumite caracteristici a fenomenelor studiate, constituind o populaţie statistică omogenă calitativ.

Există medii aritmetice simple și ponderate.

Media aritmetică simplă este calculată pentru o serie de variații negrupate prin însumarea tuturor opțiunilor și împărțind această sumă la numărul total de opțiuni incluse în seria de variații.

Media aritmetică simplă se calculează folosind formula:

M - medie ponderată aritmetică,

∑Vp - suma produselor variantei după frecvențele lor,

n este numărul de observații.

Pe lângă metoda indicată de calcul direct al mediei ponderate aritmetice, există și alte metode, în special metoda momentelor în care calculele aritmetice sunt oarecum simplificate.

Calculul mediei aritmetice prin metoda momentelor se efectuează după formula:

M = A +	∑dp
n

A - medie condiționată (cel mai adesea modul M0 este luat ca medie condiționată)

d - abaterea fiecărei opțiuni de la media condiționată (V-A)

∑dp este suma produselor abaterilor și frecvența acestora.

Procedura de calcul este prezentată în tabel (luăm M0 = 76 bătăi pe minut ca medie condiționată).

ritmul cardiac V	R	d(V-A)	dp
		-16	-16
		-14	-28
		-12	-36
		-10	-30
		-8	-24
		-6	-54
		-4	-24
		-2	-14
	n= 54	| ∑dp= -200

unde i este intervalul dintre grupuri.

Procedura de calcul este prezentată în tabel. (luăm M 0 = 73 bătăi pe minut ca medie condiționată, unde i = 3)

Determinarea mediei aritmetice prin metoda momentelor

n = 54 ∑dp = -13

M = A +	∑dp	=	73+	-13*3	= 73 - 0,7 = 72,3 (bătăi pe minut
n

Astfel, valoarea obținută a mediei aritmetice folosind metoda momentelor este identică cu cea găsită prin metoda uzuală.

Metoda momentelor echivalează momentele distribuţiei teoretice cu momentele distribuţiei empirice (distribuţie construită din observaţii). Din ecuațiile rezultate se găsesc estimări ale parametrilor de distribuție. De exemplu, pentru o distribuție cu doi parametri, primele două momente (media și varianța distribuției, respectiv, m și s) vor fi echivalate cu primele două momente empirice (eșantion) (media și respectiv varianța eșantionului) , iar apoi se va efectua estimarea.

Unde A este un zero condiționat egal cu opțiunea cu frecvența maximă (mijlocul intervalului cu frecvența maximă), h este pasul intervalului,

Scopul serviciului. Folosind un calculator online, valoarea medie este calculată folosind metoda momentelor. Rezultatul deciziei este prezentat în format Word.

Instrucţiuni. Pentru a obține o soluție, trebuie să completați datele inițiale și să selectați parametrii raportului pentru formatare în Word.

Algoritm pentru găsirea mediei folosind metoda momentelor

Exemplu. Timpul de muncă petrecut într-o operațiune tehnologică omogenă a fost repartizat între lucrători astfel:

Este necesar să se determine durata medie a timpului de lucru petrecut și abaterea standard folosind metoda momentelor; coeficientul de variație; mod și mediană.
Tabel pentru calcularea indicatorilor.

Grupuri	Punctul de mijloc al intervalului, x i	Cantitatea, f i	x i f i	Frecvența acumulată, S	(x-x) 2 f
5 - 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 - 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 - 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 - 30	27.5	30	825	125	700.83
30 - 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 - 40	37.5	10	375	150	2200.28
		150	3400		9620.83

Modă

unde x 0 este începutul intervalului modal; h – valoarea intervalului; f 2 – frecvența corespunzătoare intervalului modal; f 1 – frecvență premodală; f 3 – frecvență postmodală.
Alegem 20 ca început al intervalului, deoarece acest interval conține cel mai mare număr.

Cea mai comună valoare a seriei este 22,78 min.
Median
Mediana este intervalul 20 - 25, deoarece în acest interval, frecvența acumulată S este mai mare decât numărul median (mediana este primul interval a cărui frecvență acumulată S depășește jumătate din suma totală a frecvențelor).

Astfel, 50% din unitățile din populație vor avea mai puțin de 23 min.
.



Găsim A = 22,5, intervalul pas h = 5.
Abaterile pătratice medii prin metoda momentelor.

x q	x*i	x * i f i	2 f i
7.5	-3	-60	180
17.5	-1	-25	25
22.5	0	0	0
27.5	1	30	30
32.5	2	30	60
37.5	3	30	90
		5	385

min.

Abaterea standard.
min.
Coeficientul de variație- o măsură a dispersiei relative a valorilor populației: arată ce proporție din valoarea medie a acestei valori este dispersia medie a acesteia.

Deoarece v>30%, dar v<70%, то вариация умеренная.

Exemplu

Pentru a evalua seria de distribuție, găsim următorii indicatori:

Media ponderată

Valoarea medie a caracteristicii studiate folosind metoda momentelor.

unde A este un zero condiționat egal cu opțiunea cu frecvența maximă (mijlocul intervalului cu frecvența maximă), h este pasul intervalului.