Pentru a determina natura unei funcții și a vorbi despre comportamentul acesteia, este necesar să găsim intervale de creștere și scădere. Acest proces se numește cercetare a funcției și graficare. Punctul extremum este utilizat atunci când se găsesc cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții, deoarece la acestea funcția crește sau scade din interval.

Acest articol dezvăluie definițiile, formulează un semn suficient de creștere și scădere a intervalului și o condiție pentru existența unui extremum. Acest lucru este valabil pentru rezolvarea de exemple și probleme. Secțiunea privind diferențierea funcțiilor ar trebui repetată, deoarece soluția va trebui să folosească găsirea derivatei.

Definiția 1

Funcția y = f (x) va crește pe intervalul x când, pentru orice x 1 ∈ X și x 2 ∈ X, x 2 > x 1, inegalitatea f (x 2) > f (x 1) este satisfăcută. Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției.

Definiția 2

Funcția y = f (x) este considerată descrescătoare pe intervalul x atunci când, pentru orice x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, egalitatea f (x 2) > f (x 1) este considerat adevărat. Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a funcției corespunde unei valori mai mici a argumentului. Luați în considerare figura de mai jos.

Comentariu: Când funcția este definită și continuă la capetele intervalului de creștere și scădere, adică (a; b), unde x = a, x = b, punctele sunt incluse în intervalul de creștere și scădere. Acest lucru nu contrazice definiția, înseamnă că are loc pe intervalul x.

Principalele proprietăți ale funcțiilor elementare de tip y = sin x sunt certitudinea și continuitatea pentru valorile reale ale argumentelor. De aici rezultă că sinusul crește pe intervalul - π 2; π 2, atunci creșterea pe segment are forma - π 2; π 2.

Definiția 3

Punctul x 0 este numit punct maxim pentru funcția y = f (x), când pentru toate valorile lui x este valabilă inegalitatea f (x 0) ≥ f (x). Funcție maximă este valoarea funcției într-un punct și se notează cu y m a x .

Punctul x 0 se numește punctul minim pentru funcția y = f (x), când pentru toate valorile lui x este valabilă inegalitatea f (x 0) ≤ f (x). Funcții minime este valoarea funcției într-un punct și are o desemnare de forma y m i n .

Se consideră vecinătăți ale punctului x 0 puncte extreme,și valoarea funcției care corespunde punctelor extreme. Luați în considerare figura de mai jos.

Extreme ale unei funcții cu cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției. Luați în considerare figura de mai jos.

Prima figură spune că este necesar să se găsească cea mai mare valoare a funcției din segmentul [a; b ] . Se găsește folosind puncte maxime și este egală cu valoarea maximă a funcției, iar a doua cifră seamănă mai mult cu găsirea punctului maxim la x = b.

Condiții suficiente pentru ca o funcție să crească și să scadă

Pentru a găsi maximele și minimele unei funcții, este necesar să se aplice semne de extremum în cazul în care funcția îndeplinește aceste condiții. Primul semn este considerat cel mai des folosit.

Prima condiție suficientă pentru un extremum

Definiția 4

Fie dată o funcție y = f (x), care este diferențiabilă într-o vecinătate ε a punctului x 0 și are continuitate în punctul dat x 0. De aici obținem asta

• când f " (x) > 0 cu x ∈ (x 0 - ε ; x 0) și f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• când f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 pentru x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), atunci x 0 este punctul minim.

Cu alte cuvinte, obținem condițiile lor pentru stabilirea semnului:

• când funcția este continuă în punctul x 0, atunci are o derivată cu semn schimbător, adică de la + la -, ceea ce înseamnă că punctul se numește maxim;
• când funcția este continuă în punctul x 0, atunci are o derivată cu semn care se schimbă de la - la +, ceea ce înseamnă că punctul se numește minim.

Pentru a determina corect punctele maxime și minime ale unei funcții, trebuie să urmați algoritmul de găsire a acestora:

• găsiți domeniul definiției;
• găsiți derivata funcției pe această zonă;
• identifica zerouri și puncte în care funcția nu există;
• determinarea semnului derivatei pe intervale;
• selectați punctele în care funcția își schimbă semnul.

Să luăm în considerare algoritmul prin rezolvarea mai multor exemple de găsire a extremelor unei funcții.

Exemplul 1

Aflați punctele maxime și minime ale funcției date y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Soluţie

Domeniul de definire al acestei funcții este reprezentat de toate numerele reale, cu excepția x = 2. Mai întâi, să găsim derivata funcției și să obținem:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

De aici vedem că zerourile funcției sunt x = - 1, x = 5, x = 2, adică fiecare paranteză trebuie egalată cu zero. Să-l marchem pe axa numerelor și să obținem:

Acum determinăm semnele derivatei din fiecare interval. Este necesar să selectați un punct inclus în interval și să îl înlocuiți în expresie. De exemplu, punctele x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Înțelegem asta

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, ceea ce înseamnă că intervalul - ∞ - 1 are o derivată pozitivă.

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Deoarece al doilea interval s-a dovedit a fi mai mic decât zero, înseamnă că derivata pe interval va fi negativă. Al treilea cu un minus, al patrulea cu un plus. Pentru a determina continuitatea, trebuie să acordați atenție semnului derivatului, dacă acesta se schimbă, atunci acesta este un punct extrem.

Constatăm că în punctul x = - 1 funcția va fi continuă, ceea ce înseamnă că derivata își va schimba semnul din + în -. Conform primului semn, avem că x = - 1 este un punct maxim, ceea ce înseamnă că obținem

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Punctul x = 5 indică faptul că funcția este continuă, iar derivata își va schimba semnul de la – la +. Aceasta înseamnă că x = -1 este punctul minim, iar determinarea lui are forma

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Imagine grafică

Răspuns: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Merită să fiți atenți la faptul că utilizarea primului criteriu suficient pentru un extremum nu necesită ca funcția să fie diferențiabilă în punctul x 0, ceea ce simplifică calculul.

Exemplul 2

Aflați punctele maxime și minime ale funcției y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Soluţie.

Domeniul unei funcții este reprezentat de toate numerele reale. Acesta poate fi scris ca un sistem de ecuații de forma:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Apoi trebuie să găsiți derivata:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Punctul x = 0 nu are o derivată, deoarece valorile limitelor unilaterale sunt diferite. Primim ca:

lim y " x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Rezultă că funcția este continuă în punctul x = 0, apoi calculăm

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Este necesar să se efectueze calcule pentru a găsi valoarea argumentului când derivata devine zero:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Toate punctele obținute trebuie marcate pe o linie dreaptă pentru a determina semnul fiecărui interval. Prin urmare, este necesar să se calculeze derivata în puncte arbitrare pentru fiecare interval. De exemplu, putem lua puncte cu valorile x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Înțelegem asta

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Imaginea de pe linia dreaptă arată ca

Aceasta înseamnă că ajungem la concluzia că este necesar să se recurgă la primul semn al unui extremum. Să calculăm și să găsim asta

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , atunci de aici punctele maxime au valorile x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Să trecem la calculul minimelor:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Să calculăm maximele funcției. Înțelegem asta

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Imagine grafică

Răspuns:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Dacă este dată o funcție f "(x 0) = 0, atunci dacă f "" (x 0) > 0, obținem că x 0 este un punct minim dacă f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Exemplul 3

Aflați maximele și minimele funcției y = 8 x x + 1.

Soluţie

În primul rând, găsim domeniul definiției. Înțelegem asta

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Este necesar să diferențiem funcția, după care obținem

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

La x = 1, derivata devine zero, ceea ce înseamnă că punctul este un posibil extremum. Pentru a clarifica, este necesar să găsiți derivata a doua și să calculați valoarea la x = 1. Primim:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Aceasta înseamnă că folosind condiția 2 suficientă pentru un extrem, obținem că x = 1 este un punct maxim. În caz contrar, intrarea arată ca y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Imagine grafică

Răspuns: y m a x = y (1) = 4 ..

Definiția 5

Funcția y = f (x) are derivata până la ordinul n în vecinătatea ε a unui punct dat x 0 și derivata până la ordinul n + 1 în punctul x 0 . Atunci f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Rezultă că atunci când n este un număr par, atunci x 0 este considerat un punct de inflexiune, când n este un număr impar, atunci x 0 este un punct extremum, iar f (n + 1) (x 0) > 0, atunci x 0 este un punct minim, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Exemplul 4

Aflați punctele maxime și minime ale funcției y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Soluţie

Funcția originală este o funcție rațională întreagă, ceea ce înseamnă că domeniul de definiție este toate numerele reale. Este necesar să se diferențieze funcția. Înțelegem asta

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Această derivată va ajunge la zero la x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Adică, punctele pot fi puncte extreme posibile. Este necesar să se aplice a treia condiție suficientă pentru extremum. Găsirea derivatei a doua vă permite să determinați cu precizie prezența unui maxim și minim al unei funcții. A doua derivată este calculată în punctele extremului său posibil. Înțelegem asta

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Aceasta înseamnă că x 2 = 5 7 este punctul maxim. Aplicând al treilea criteriu suficient, constatăm că pentru n = 1 și f (n + 1) 5 7< 0 .

Este necesar să se determine natura punctelor x 1 = - 1, x 3 = 3. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți a treia derivată și să calculați valorile în aceste puncte. Înțelegem asta

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Aceasta înseamnă că x 1 = - 1 este punctul de inflexiune al funcției, deoarece pentru n = 2 și f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Este necesar să se investigheze punctul x 3 = 3. Pentru a face acest lucru, găsim derivata a 4-a și efectuăm calcule în acest punct:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Din cele hotărâte mai sus, concluzionăm că x 3 = 3 este punctul minim al funcției.

Imagine grafică

Răspuns: x 2 = 5 7 este punctul maxim, x 3 = 3 este punctul minim al funcției date.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Punctul extremum al unei funcții este punctul din domeniul de definire al funcției la care valoarea funcției capătă o valoare minimă sau maximă. Valorile funcției în aceste puncte se numesc extreme (minim și maxim) ale funcției.

Definiţie. Punct x1 domeniul functional f(x) se numește punctul maxim al funcției , dacă valoarea funcției în acest punct este mai mare decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea este valabilă f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maxim.

Definiţie. Punct x2 domeniul functional f(x) se numește punctul minim al funcției, dacă valoarea funcției în acest punct este mai mică decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea este valabilă f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). În acest caz spunem că funcția are la punctul x2 minim.

Să spunem punct x1 - punctul maxim al functiei f(x) . Apoi în intervalul până la x1 funcția crește, prin urmare derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(x) > 0 ), iar în intervalul de după x1 funcția scade, prin urmare, derivata unei functii mai putin de zero ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Să presupunem, de asemenea, că ideea x2 - punctul minim al funcției f(x) . Apoi în intervalul până la x2 funcția este în scădere, iar derivata funcției este mai mică decât zero ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funcția este în creștere, iar derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(x) > 0). În acest caz și la punct x2 derivata functiei este zero sau nu exista.

Teorema lui Fermat (un semn necesar al existenței unui extremum al unei funcții). Dacă punctul x0 - punctul extremum al funcției f(x), atunci în acest moment derivata funcției este egală cu zero ( f "(x) = 0 ) sau nu există.

Definiţie. Sunt numite punctele în care derivata unei funcții este zero sau nu există puncte critice .

Exemplul 1. Să luăm în considerare funcția.

La punctul x= 0 derivata functiei este zero, deci punctul x= 0 este punctul critic. Cu toate acestea, după cum se poate vedea în graficul funcției, aceasta crește pe întregul domeniu de definiție, deci punctul x= 0 nu este punctul extremum al acestei funcții.

Astfel, condițiile ca derivata unei funcții într-un punct să fie egală cu zero sau să nu existe sunt condiții necesare pentru un extremum, dar nu suficiente, deoarece pot fi date și alte exemple de funcții pentru care aceste condiții sunt îndeplinite, dar funcția nu are un extremum în punctul corespunzător. De aceea trebuie să existe suficiente dovezi, permițând cuiva să judece dacă există un extremum la un anumit punct critic și ce fel de extremum este - maxim sau minim.

Teoremă (primul semn suficient al existenței unui extremum al unei funcții). Punct critic x0 f(x) dacă, la trecerea prin acest punct, derivata funcției își schimbă semnul, iar dacă semnul se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci este un punct maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci este un punct minim.

Dacă aproape de punct x0 , la stânga și la dreapta acesteia, derivata își păstrează semnul, asta înseamnă că funcția fie doar scade, fie crește doar într-o anumită vecinătate a punctului x0 . În acest caz, la punctul x0 nu exista extrema.

Aşa, pentru a determina punctele extreme ale funcției, trebuie să faceți următoarele :

1. Aflați derivata funcției.
2. Echivalează derivata cu zero și determină punctele critice.
3. Mental sau pe hârtie, marcați punctele critice pe dreapta numerică și determinați semnele derivatei funcției în intervalele rezultate. Dacă semnul derivatei se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci punctul critic este punctul maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci punctul minim.
4. Calculați valoarea funcției la punctele extreme.

Exemplul 2. Aflați extremele funcției .

Soluţie. Să găsim derivata funcției:

Să echivalăm derivata cu zero pentru a găsi punctele critice:

.

Deoarece pentru orice valoare a lui „x” numitorul nu este egal cu zero, echivalăm numărătorul cu zero:

Am un punct critic x= 3 . Să determinăm semnul derivatei în intervalele delimitate de acest punct:

în intervalul de la minus infinit la 3 - un semn minus, adică funcția scade,

în intervalul de la 3 la plus infinit există un semn plus, adică funcția crește.

Adică punct x= 3 este punctul minim.

Să găsim valoarea funcției în punctul minim:

Astfel, punctul extremum al funcției se găsește: (3; 0), și este punctul minim.

Teoremă (al doilea semn suficient al existenței unui extremum al unei funcții). Punct critic x0 este punctul extremum al funcției f(x) dacă derivata a doua a funcției în acest punct nu este egală cu zero ( f ""(x) ≠ 0 ), iar dacă derivata a doua este mai mare decât zero ( f ""(x) > 0 ), atunci punctul maxim și dacă derivata a doua este mai mică decât zero ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Notă 1. Dacă la punct x0 Dacă ambele derivate prima și a doua dispar, atunci în acest moment este imposibil să se judece prezența unui extremum pe baza celui de-al doilea criteriu suficient. În acest caz, trebuie să utilizați primul criteriu suficient pentru extremul unei funcții.

Observația 2. Al doilea criteriu suficient pentru extremul unei funcții nu este aplicabil chiar și atunci când derivata întâi nu există într-un punct staționar (atunci nici derivata a doua nu există). În acest caz, trebuie să utilizați și primul semn suficient al unui extremum al unei funcții.

Natura locală a extremelor funcției

Din definițiile de mai sus rezultă că extremul unei funcții este de natură locală - este cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției în comparație cu valorile apropiate.

Să presupunem că vă uitați la câștigurile dvs. pe o perioadă de un an. Dacă în mai ați câștigat 45.000 de ruble, iar în aprilie 42.000 de ruble și în iunie 39.000 de ruble, atunci câștigurile din mai sunt maximul funcției de câștig în comparație cu valorile din apropiere. Dar în octombrie ai câștigat 71.000 de ruble, în septembrie 75.000 de ruble și în noiembrie 74.000 de ruble, deci câștigurile din octombrie sunt minimul funcției de câștig în comparație cu valorile din apropiere. Și puteți observa cu ușurință că maximul dintre valorile aprilie-mai-iunie este mai mic decât cel minim din septembrie-octombrie-noiembrie.

În general, pe un interval o funcție poate avea mai multe extreme și se poate dovedi că un anumit minim al funcției este mai mare decât orice maxim. Deci, pentru funcția prezentată în figura de mai sus, .

Adică, nu trebuie să credem că maximul și minimul unei funcții sunt, respectiv, valorile sale cele mai mari și cele mai mici pe întregul segment luat în considerare. În punctul maxim, funcția are cea mai mare valoare doar în comparație cu acele valori pe care le are în toate punctele suficient de aproape de punctul maxim, iar în punctul minim are cea mai mică valoare doar în comparație cu acele valori. că are în toate punctele suficient de aproape de punctul minim.

Prin urmare, putem clarifica conceptul de mai sus de puncte extreme ale unei funcții și putem numi puncte minime puncte minime locale și puncte maxime puncte maxime locale.

Căutăm împreună extremele funcției

Exemplul 3.

Soluție: Funcția este definită și continuă pe întreaga linie numerică. Derivatul său există și pe întreaga linie numerică. Prin urmare în în acest caz, punctele critice sunt numai cele în care, i.e. , de unde și . Puncte critice și împărțiți întregul domeniu de definire al funcției în trei intervale de monotonitate: . Să selectăm un punct de control în fiecare dintre ele și să găsim semnul derivatei în acest punct.

Pentru interval, punctul de control poate fi: găsi. Luând un punct în interval, obținem, și luând un punct în interval, avem. Deci, în intervalele și , și în intervalul . Conform primului criteriu suficient pentru un extremum, nu există un extremum la punct (deoarece derivata își păstrează semnul în interval), iar în punct funcția are un minim (deoarece derivata își schimbă semnul din minus în plus când trece). prin acest punct). Să găsim valorile corespunzătoare ale funcției: , a . În interval funcția scade, deoarece în acest interval , iar în interval crește, deoarece în acest interval .

Pentru a clarifica construcția graficului, găsim punctele de intersecție ale acestuia cu axele de coordonate. Când obținem o ecuație ale cărei rădăcini sunt și , adică se găsesc două puncte (0; 0) și (4; 0) ale graficului funcției. Folosind toate informațiile primite, construim un grafic (vezi începutul exemplului).

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator derivat online .

Exemplul 4. Găsiți extremele funcției și construiți graficul acesteia.

Domeniul de definire al unei funcții este întreaga dreaptă numerică, cu excepția punctului, i.e. .

Pentru a scurta studiul, puteți folosi faptul că această funcție este uniformă, deoarece . Prin urmare, graficul său este simetric față de axă Oi iar studiul poate fi efectuat numai pentru interval.

Găsirea derivatei și punctele critice ale funcției:

1) ;

2) ,

dar funcția suferă o discontinuitate în acest punct, deci nu poate fi un punct extremum.

Astfel, funcția dată are două puncte critice: și . Ținând cont de paritatea funcției, vom verifica doar punctul folosind al doilea criteriu suficient pentru un extremum. Pentru a face acest lucru, găsim derivata a doua si determinam semnul acesteia la: obtinem . Deoarece și , este punctul minim al funcției, și .

Pentru a obține o imagine mai completă a graficului unei funcții, să aflăm comportamentul acesteia la granițele domeniului de definiție:

(aici simbolul indică dorința x la zero din dreapta și x rămâne pozitivă; în mod similar înseamnă aspirație x la zero din stânga și x rămâne negativ). Astfel, dacă , atunci . În continuare, găsim

,

aceste. daca , atunci .

Graficul unei funcții nu are puncte de intersecție cu axele. Imaginea este la începutul exemplului.

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator derivat online .

Continuăm să căutăm împreună extremele funcției

Exemplul 8. Aflați extremele funcției.

Soluţie. Să găsim domeniul de definire al funcției. Deoarece inegalitatea trebuie satisfăcută, obținem din .

Să găsim prima derivată a funcției.

2) găsiți prima derivată;

3) găsirea punctelor critice;

2) Aflați derivata

5) Calculați valoarea funcției

2) Aflați derivata

5) Calculați extremul funcției

2) Calculați derivata

Vezi materiale:

Este dată o definiție a extremului unei funcții și este dat un exemplu despre cum să găsiți extremul unei funcții folosind un calculator online.

Exemplu

Există o funcție (x^3 -exp(x) + x)/(1+x^2).

Să-l introducem în calculator prin cercetarea funcției online:

Obtinem urmatorul rezultat:

Pentru a găsi extremele, trebuie să rezolvați ecuația $$\frac(d)(d x) f(\left (x \right)) = 0$$ (derivata este zero), iar rădăcinile acestei ecuații vor fi extremele acestei funcții: $ $\frac(d)(d x) f(\left (x \right)) = $$ Derivată prima $$- \frac(2 x)(\left(x^(2) ) + 1\right)^(2 )) \left(x + x^(3) — e^(x)\right) + \frac(3 x^(2) — e^(x) + 1)( x^(2) + 1) = 0$$ Rezolvați această ecuație
Rădăcinile acestei ecuații $$x_(1) = 0$$ $$x_(2) = 3,28103090528$$ $$x_(3) = -0,373548376565$$ Valoare. extreme în puncte:
(0, -1)
(3.28103090528, 1.01984828342285)
(-0.373548376565, -0.977554081645009)
Intervale de funcții crescătoare și descrescătoare:
Să găsim intervalele în care funcția crește și descrește, precum și minimele și maximele funcției, pentru a face acest lucru ne uităm la modul în care funcția se comportă la extreme la cea mai mică abatere de la extrem:
Minima funcției în puncte: $$x_(3) = 0$$ Maxima funcției în puncte: $$x_(3) = 3,28103090528$$ $$x_(3) = -0,373548376565$$ Scăderi pe intervale
(-oo, -0,373548376565] U U

Găsirea maximelor și minimelor locale nu se poate face fără diferențiere și este necesară atunci când se studiază o funcție și se construiește graficul acesteia.

Un punct se numește punct de maxim (sau minim) local al unei funcții dacă există o vecinătate a acestui punct care aparține domeniului de definire al funcției și pentru toată această vecinătate inegalitatea (sau) este valabilă.

Punctele maxime și minime sunt numite puncte extreme ale funcției, iar valorile funcției la punctele extreme sunt valorile sale extreme.

CONDIȚIE NECESARĂ PENTRU UN EXTREM LOCAL:

Dacă o funcție are un extremum local într-un punct, atunci fie derivata este zero, fie nu există.

Punctele care îndeplinesc cerințele de mai sus se numesc puncte critice.

Cu toate acestea, în fiecare punct critic funcția are un extremum.

Conceptul de extremum al unei funcții

Răspunsul la întrebarea: un punct critic va fi un punct extremum este dat de următoarea teoremă.

O CONDIȚIE SUFICIENTĂ PENTRU EXISTENȚA UNUI EXTREM DE FUNCȚIE

Teorema I. Fie funcția continuă într-un anumit interval care conține punctul critic și diferențiată în toate punctele acestui interval (cu posibila excepție a punctului însuși).

Atunci pentru un punct funcția are un maxim dacă argumentele îndeplinesc condiția ca derivata să fie mai mare decât zero, iar pentru condiția derivata este mai mică decât zero.

Dacă derivata pentru este mai mică decât zero și pentru este mai mare decât zero, atunci funcția are un minim pentru punct.

Teorema II. Fie funcția să fie de două ori diferențiabilă într-o vecinătate a unui punct și derivata egală cu zero. Atunci, la un punct, funcția are un maxim local dacă derivata a doua este mai mică decât zero și un minim local dacă invers.

Dacă derivata a doua este egală cu zero, atunci punctul poate să nu fie un punct extrem.

Când se studiază funcțiile pentru extreme, se folosesc ambele teoreme. Prima este mai simplă în practică, deoarece nu necesită găsirea derivatei a doua.

REGULI PENTRU GĂSIREA EXTREMULUI (MAXIMUL ȘI MINIMULUI) CU PRIMUL DERIVAT

1) găsiți domeniul definiției;

2) găsiți prima derivată;

3) găsirea punctelor critice;

4) investigați semnul derivatei pe intervalele care au fost obținute din împărțirea domeniului de definiție în puncte critice.

În acest caz, punctul critic este un punct minim dacă, la trecerea prin el de la stânga la dreapta, derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv, în caz contrar este un punct maxim.

În loc de această regulă, puteți determina derivata a doua și o puteți studia conform celei de-a doua teoreme.

5) calculați valorile funcției la punctele extreme.

Să luăm acum în considerare studiul funcțiilor pentru extreme folosind exemple specifice.

Colecție de V.Yu. Klepko, V.L. Golets „Matematică superioară în exemple și probleme”

1) Domeniul de definiție va fi mulțimea numerelor reale

2) Aflați derivata

3) Calculați punctele critice

Ele împart domeniul definiției în următoarele intervale

4) Investigam semnul derivatei pe intervalele gasite folosind metoda substituirii valorilor

Astfel, primul punct este punctul minim, iar al doilea este punctul maxim.

5) Calculați valoarea funcției

1) Domeniul de definiție va fi mulțimea numerelor reale, deci rădăcina este întotdeauna mai mare decât unu

iar funcția arctangentă este definită pe toată axa reală.

2) Aflați derivata

3) Din condiția ca derivata să fie egală cu zero, găsim punctul critic

Împarte domeniul definiției în două intervale

4) Determinați semnul derivatei în fiecare dintre regiuni

Astfel, constatăm că în punctul critic funcția ia o valoare minimă.

5) Calculați extremul funcției

1) Funcția este definită atunci când numitorul nu ajunge la zero

De aici rezultă că domeniul definiției este format din trei intervale

2) Calculați derivata

3) Echivalăm derivata cu zero și găsim punctele critice.

4) Setați semnul derivatei în fiecare dintre zone prin înlocuirea valorilor corespunzătoare.

Astfel, punctul este un punct de maxim local și minim local. Avem un punct de inflexiune în funcție, dar va fi mai mult material despre el în articolele următoare.

5) Găsiți valoarea în punctele critice

În ciuda faptului că valoarea funcției este , primul punct este punctul de maxim local, iar arcul este punctul de minim. Nu vă fie teamă dacă obțineți rezultate similare atunci când determinați extreme locale, astfel de situații sunt acceptabile.

Vezi materiale:

Literatură

1. Bogomolov N.V. Lecții practice de matematică. – M.: Mai sus. scoala, 2009

2. P.T.Apanasov, M.I.Orlov. Culegere de probleme de matematică. – M.: Mai sus. scoala, 2009

Orientări

Studierea funcțiilor folosind derivate. Găsirea intervalelor de monotonitate

Teorema 1. Dacă funcția f(x) este definită și continuă pe intervalul (a;b) și f '(x) este pozitivă peste tot (f '(x)>0), atunci funcția este crescătoare pe intervalul (a;b). ).

Teorema 2. Dacă funcția f(x) este definită și continuă pe intervalul (a;b) și f ‘(x) este negativă peste tot (f ‘(x)<0), тогда функция убывает на промежутке (а;b).

Exemplul 1. Examinați monotonitatea y= .

Rezolvare: y’=2x-1

Axa numerelor este împărțită în două intervale

Aceasta înseamnă că funcția scade în intervalul (-;5) și funcția crește în intervalul (5;).

Găsirea extremelor unei funcții

Funcția f(x) are un maxim (minim) în punctul x0 dacă acest punct are o vecinătate în care f(x) f(x0)) pentru xx0.

Maximul și minimul sunt combinate sub denumirea de extremum.

Teorema 1. (condiție necesară pentru extremum). Dacă punctul x0 este punctul extrem al funcției y=f(x) și în acest punct există o derivată f '(x0), atunci este egal cu zero: f '(x)=0.

Punctele în care f '(x)=0 sau nu există sunt numite critice.

Teorema 2. (condiție suficientă). Fie funcția f(x) continuă în punctul x0 și în vecinătatea ei să aibă o derivată, cu excepția, poate, a punctului x0 însuși. Apoi

a) dacă derivata f ‘(x) își schimbă semnul din plus în minus la trecerea prin punctul x0, atunci punctul x0 este punctul maxim al funcției f(x);

b) dacă derivata f ‘(x) își schimbă semnul din minus în plus la trecerea prin punctul x0, atunci punctul x0 este punctul minim al funcției f(x);

c) dacă există o vecinătate (x0-; x0+) a punctului x0 în care derivata f ‘(x) își păstrează semnul, atunci în punctul x0 această funcție f(x) nu are un extremum.

Exemplul 2. Investigați extremul funcției y = 3 -5x - .

Rezolvare: y’= -5-2x

La trecerea prin punctul x = - 2,5, derivata y’ își schimbă semnul din „+” în „-” ==> x = -2,5 punct maxim.

Condiții suficiente pentru extremul unei funcții.

xmax= — 2,5; уmax = 9,25.

Nu ați găsit ceea ce căutați? Utilizați căutarea:

Citeste si:

Găsirea maximelor și minimelor locale nu se poate face fără diferențiere și este necesară atunci când se studiază o funcție și se construiește graficul acesteia.

Un punct se numește punct de maxim (sau minim) local al unei funcții dacă există o vecinătate a acestui punct care aparține domeniului de definire al funcției și pentru toată această vecinătate inegalitatea (sau) este valabilă.

Punctele maxime și minime sunt numite puncte extreme ale funcției, iar valorile funcției la punctele extreme sunt valorile sale extreme.

CONDIȚIE NECESARĂ PENTRU UN EXTREM LOCAL:

Dacă o funcție are un extremum local într-un punct, atunci fie derivata este zero, fie nu există.

Punctele care îndeplinesc cerințele de mai sus se numesc puncte critice.

Cu toate acestea, în fiecare punct critic funcția are un extremum. Răspunsul la întrebarea: un punct critic va fi un punct extremum este dat de următoarea teoremă.

O CONDIȚIE SUFICIENTĂ PENTRU EXISTENȚA UNUI EXTREM DE FUNCȚIE

Teorema I. Fie funcția continuă într-un anumit interval care conține punctul critic și diferențiată în toate punctele acestui interval (cu posibila excepție a punctului însuși).

Atunci pentru un punct funcția are un maxim dacă argumentele îndeplinesc condiția ca derivata să fie mai mare decât zero, iar pentru condiția derivata este mai mică decât zero.

Dacă derivata pentru este mai mică decât zero și pentru este mai mare decât zero, atunci funcția are un minim pentru punct.

Teorema II. Fie funcția să fie de două ori diferențiabilă într-o vecinătate a unui punct și derivata egală cu zero.

Extreme ale unei funcții: semne de existență, exemple de soluții

Atunci, la un punct, funcția are un maxim local dacă derivata a doua este mai mică decât zero și un minim local dacă invers.

Dacă derivata a doua este egală cu zero, atunci punctul poate să nu fie un punct extrem.

Când se studiază funcțiile pentru extreme, se folosesc ambele teoreme. Prima este mai simplă în practică, deoarece nu necesită găsirea derivatei a doua.

REGULI PENTRU GĂSIREA EXTREMULUI (MAXIMUL ȘI MINIMULUI) CU PRIMUL DERIVAT

1) găsiți domeniul definiției;

2) găsiți prima derivată;

3) găsirea punctelor critice;

4) investigați semnul derivatei pe intervalele care au fost obținute din împărțirea domeniului de definiție în puncte critice.

În acest caz, punctul critic este un punct minim dacă, la trecerea prin el de la stânga la dreapta, derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv, în caz contrar este un punct maxim.

În loc de această regulă, puteți determina derivata a doua și o puteți studia conform celei de-a doua teoreme.

5) calculați valorile funcției la punctele extreme.

Să luăm acum în considerare studiul funcțiilor pentru extreme folosind exemple specifice.

Colecție de V.Yu. Klepko, V.L. Golets „Matematică superioară în exemple și probleme”

1) Domeniul de definiție va fi mulțimea numerelor reale

2) Aflați derivata

3) Calculați punctele critice

Ele împart domeniul definiției în următoarele intervale

4) Investigam semnul derivatei pe intervalele gasite folosind metoda substituirii valorilor

Astfel, primul punct este punctul minim, iar al doilea este punctul maxim.

5) Calculați valoarea funcției

1) Domeniul de definiție va fi mulțimea numerelor reale, deci rădăcina este întotdeauna mai mare decât unu

iar funcția arctangentă este definită pe toată axa reală.

2) Aflați derivata

3) Din condiția ca derivata să fie egală cu zero, găsim punctul critic

Împarte domeniul definiției în două intervale

4) Determinați semnul derivatei în fiecare dintre regiuni

Astfel, constatăm că în punctul critic funcția ia o valoare minimă.

5) Calculați extremul funcției

1) Funcția este definită atunci când numitorul nu ajunge la zero

De aici rezultă că domeniul definiției este format din trei intervale

2) Calculați derivata

3) Echivalăm derivata cu zero și găsim punctele critice.

4) Setați semnul derivatei în fiecare dintre zone prin înlocuirea valorilor corespunzătoare.

Astfel, punctul este un punct de maxim local și minim local. Avem un punct de inflexiune în funcție, dar va fi mai mult material despre el în articolele următoare.

5) Găsiți valoarea în punctele critice

În ciuda faptului că valoarea funcției este , primul punct este punctul de maxim local, iar arcul este punctul de minim. Nu vă fie teamă dacă obțineți rezultate similare atunci când determinați extreme locale, astfel de situații sunt acceptabile.

Vezi materiale:

Matematică superioară » Funcții ale mai multor variabile » Extremul unei funcții a două variabile

Extremul unei funcții a două variabile. Exemple de studiere a funcțiilor pentru extremum.

Fie definită funcția $z=f(x,y)$ într-o vecinătate a punctului $(x_0,y_0)$. Ei spun că $(x_0,y_0)$ este un punct maxim (local) dacă pentru toate punctele $(x,y)$ dintr-o vecinătate a punctului $(x_0,y_0)$ inegalitatea $f(x,y) este mulțumit< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, atunci punctul $(x_0,y_0)$ se numește punctul minim (local).

Punctele maxime și minime sunt adesea numite termenul general - puncte extremum.

Dacă $(x_0,y_0)$ este un punct maxim, atunci valoarea funcției $f(x_0,y_0)$ în acest punct se numește maximul funcției $z=f(x,y)$. În consecință, valoarea funcției în punctul minim se numește minimul funcției $z=f(x,y)$. Minimele și maximele unei funcții sunt unite printr-un termen comun - extrema unei funcții.

Algoritm pentru studierea funcției $z=f(x,y)$ pentru extremum

1. Găsiți derivatele parțiale $\frac(\partial z)(\partial x)$ și $\frac(\partial z)(\partial y)$. Compuneți și rezolvați sistemul de ecuații $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 . \ end(aligned) \right.$ Punctele ale căror coordonate satisfac sistemul specificat sunt numite staționare.
2. Găsiți $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ și calculați valoarea lui $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left( \frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ la fiecare punct staționar. După aceasta, utilizați următoarea schemă:

1. Dacă $\Delta > 0$ și $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (sau $\frac(\partial^2z)(\partial^2) > 0$), atunci punctul studiat este punctul minim.
2. Dacă $\Delta > 0$ și $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
3. Dacă $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
4. Dacă $\Delta = 0$, atunci nu se poate spune nimic cert despre prezența unui extremum; sunt necesare cercetări suplimentare.

Notă (de dorit pentru o înțelegere mai completă a textului): show\hide

Dacă $\Delta > 0$, atunci $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ parțial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2 > 0$. Și rezultă că $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ( \partial x\partial y)\right)^2 ≥ 0$. Aceste. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Dacă produsul anumitor cantități este mai mare decât zero, atunci aceste cantități sunt de același semn. Adică, de exemplu, dacă $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, atunci $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Pe scurt, dacă $\Delta > 0$, atunci semnele lui $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ și $\frac(\partial^2z)(\partial^2)$ sunt aceeași.

Exemplul nr. 1

Examinați funcția $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ pentru extrema ei.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(aligned) \right. $$

Să reducem fiecare ecuație a acestui sistem cu $2$ și să mutăm numerele în partea dreaptă a ecuațiilor:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(aligned) \right. $$

Am obținut un sistem de ecuații algebrice liniare. În această situație, mi se pare cel mai convenabil să folosești metoda Cramer pentru a rezolva sistemul rezultat.

$$ \begin(aligned) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\left| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\left| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(aliniat) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Valorile $x=2$, $y=-3$ sunt coordonatele punctului staționar $(2;-3)$.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

Să calculăm valoarea lui $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Deoarece $\Delta > 0$ și $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, atunci, conform algoritmului, punctul $(2;-3)$ este punctul minim al funcția $z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $(2;-3)$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot (-3)+7=-90. $$

Răspuns: $(2;-3)$ - punct minim; $z_(min)=-90$.

Exemplul nr. 2

Examinați funcția $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ pentru extrema ei.

Vom urma algoritmul de mai sus. Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

Să creăm un sistem de ecuații $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end( aliniat) \right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(aligned) \right. $$

Să reducem prima ecuație cu 3, iar a doua cu 6.

$$ \left \( \begin(aligned) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(aligned) \right. $$

Dacă $x=0$, atunci a doua ecuație ne va conduce la o contradicție: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. De aici concluzia: $x\neq 0$. Atunci din a doua ecuație avem: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Înlocuind $y=\frac(2)(x)$ în prima ecuație, vom avea:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Avem o ecuație biquadratică. Facem înlocuirea $t=x^2$ (adică $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(aligned) $$

Dacă $t=1$, atunci $x^2=1$. Prin urmare, avem două valori ale lui $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Dacă $t=4$, atunci $x^2=4$, adică. $x_3=2$, $x_4=-2$. Reținând că $y=\frac(2)(x)$, obținem:

\begin(aligned) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(aliniat)

Deci, avem patru puncte staționare: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Aceasta completează primul pas al algoritmului.

Acum să trecem la a doua etapă a algoritmului. Să găsim derivatele parțiale de ordinul doi:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

Să găsim $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Acum vom calcula valoarea $\Delta$ la fiecare dintre punctele staționare găsite anterior. Să începem de la punctul $M_1(1;2)$. În acest moment avem: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. De la $\Delta(M_1)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_1$ экстремума нет.

Să examinăm punctul $M_2(-1;-2)$. În acest moment avem: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Din moment ce $\Delta(M_2)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_2$ экстремума нет.

Să examinăm punctul $M_3(2;1)$. În acest moment obținem:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Deoarece $\Delta(M_3) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, atunci conform algoritmului $M_3( 2 ;1)$ este punctul minim al funcției $z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $M_3$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Rămâne de explorat punctul $M_4(-2;-1)$. În acest moment obținem:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Deoarece $\Delta(M_4) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно алгоритму $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Studiul extremum este finalizat. Rămâne doar să scrieți răspunsul.

• $(2;1)$ - punct minim, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ - punct maxim, $z_(max)=29$.

Nota

În cazul general, nu este nevoie să calculăm valoarea lui $\Delta$, deoarece ne interesează doar semnul, și nu valoarea specifică a acestui parametru. De exemplu, de exemplu nr. 2 considerat mai sus, la punctul $M_3(2;1)$ avem $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Aici este evident că $\Delta > 0$ (deoarece ambii factori $36$ și $(2^2-1^2)$ sunt pozitivi) și este posibil să nu găsiți o anumită valoare a $\Delta$. Adevărat, pentru calculele standard, această remarcă este inutilă - vă cer să aduceți calculele la un număr :)

Exemplul nr. 3

Examinați funcția $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ pentru extrema ei.

Vom urma algoritmul. Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

Să creăm un sistem de ecuații $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end( aliniat) \right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(aligned) \right. $$

Să reducem ambele ecuații cu $4$:

$$ \left \( \begin(aligned) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(aligned) \right. $$

Să adăugăm prima ecuație la a doua și să exprimăm $y$ în termeni de $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Înlocuind $y=-x$ în prima ecuație a sistemului, vom avea:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Din ecuația rezultată avem: $x=0$ sau $x^2-2=0$. Din ecuația $x^2-2=0$ rezultă că $x=-\sqrt(2)$ sau $x=\sqrt(2)$. Deci, se găsesc trei valori ale lui $x$ și anume: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Deoarece $y=-x$, atunci $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Primul pas al soluției este finalizat.

Cum să găsiți extremul (punctele minime și maxime) ale unei funcții

Avem trei puncte staționare: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Acum să trecem la a doua etapă a algoritmului. Să găsim derivatele parțiale de ordinul doi:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

Să găsim $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Acum vom calcula valoarea $\Delta$ la fiecare dintre punctele staționare găsite anterior. Să începem de la punctul $M_1(0;0)$. În acest moment avem: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Deoarece $\Delta(M_1) = 0$, atunci, conform algoritmului, sunt necesare cercetări suplimentare, deoarece nu se poate spune nimic cert despre prezența unui extremum în punctul luat în considerare. Să lăsăm acest punct în pace pentru moment și să trecem la alte puncte.

Să examinăm punctul $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. În acest moment obținem:

\begin(aligned) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(aliniat)

Deoarece $\Delta(M_2) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, atunci conform algoritmului $M_2( - \sqrt(2),\sqrt(2))$ este punctul minim al funcției $z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $M_2$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Similar punctului anterior, examinăm punctul $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. În acest moment obținem:

\begin(aligned) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(aliniat)

Deoarece $\Delta(M_3) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, atunci conform algoritmului $M_3( \ sqrt(2),-\sqrt(2))$ este punctul minim al funcției $z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $M_3$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Este timpul să revenim la punctul $M_1(0;0)$, la care $\Delta(M_1) = 0$. Conform algoritmului, sunt necesare cercetări suplimentare. Această expresie evazivă înseamnă „fă ce vrei” :). Nu există o modalitate generală de a rezolva astfel de situații, iar acest lucru este de înțeles. Dacă ar fi existat o astfel de metodă, ar fi fost inclusă în toate manualele cu mult timp în urmă. Între timp, trebuie să căutăm o abordare specială pentru fiecare punct în care $\Delta = 0$. Ei bine, să examinăm comportamentul funcției în vecinătatea punctului $M_1(0;0)$. Să observăm imediat că $z(M_1)=z(0;0)=3$. Să presupunem că $M_1(0;0)$ este punctul minim. Atunci pentru orice punct $M$ dintr-o vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ obținem $z(M) > z(M_1)$, adică. $z(M) > 3$. Ce se întâmplă dacă orice vecinătate conține puncte în care $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Să luăm în considerare punctele pentru care $y=0$, adică. puncte de forma $(x,0)$. În aceste puncte funcția $z$ va lua următoarele valori:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

În toate cartierele suficient de mici $M_1(0;0)$ avem $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Dar poate punctul $M_1(0;0)$ este punctul maxim? Dacă este așa, atunci pentru orice punct $M$ dintr-o vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ obținem $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? Atunci cu siguranță nu va exista un maxim în punctul $M_1$.

Să luăm în considerare punctele pentru care $y=x$, adică. puncte de forma $(x,x)$. În aceste puncte funcția $z$ va lua următoarele valori:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Deoarece în orice vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ avem $2x^4 > 0$, atunci $2x^4+3 > 3$. Concluzie: orice vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ conține puncte la care $z > 3$, deci punctul $M_1(0;0)$ nu poate fi un punct maxim.

Punctul $M_1(0;0)$ nu este nici un punct maxim, nici un punct minim. Concluzie: $M_1$ nu este deloc un punct extrem.

Răspuns: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ sunt punctele minime ale funcției $z$. În ambele puncte $z_(min)=-5$.

Cursuri online de matematică superioară

Să ne întoarcem la graficul funcției y = x 3 – 3x 2. Să considerăm vecinătatea punctului x = 0, adică. un interval care conține acest punct. Este logic că există o astfel de vecinătate a punctului x = 0 încât funcția y = x 3 – 3x 2 să ia cea mai mare valoare în această vecinătate în punctul x = 0. De exemplu, pe intervalul (-1; 1 ) funcția ia cea mai mare valoare egală cu 0 în punctul x = 0. Punctul x = 0 se numește punctul maxim al acestei funcții.

În mod similar, punctul x = 2 se numește punctul minim al funcției x 3 - 3x 2, deoarece în acest moment valoarea funcției nu este mai mare decât valoarea acesteia în alt punct din vecinătatea punctului x = 2, pt. exemplu, cartierul (1,5; 2,5).

Astfel, punctul maxim al funcției f(x) se numește punctul x 0 dacă există o vecinătate a punctului x 0 astfel încât inegalitatea f(x) ≤ f(x 0) să fie valabilă pentru tot x din această vecinătate.

De exemplu, punctul x 0 = 0 este punctul maxim al funcției f(x) = 1 – x 2, deoarece f(0) = 1 și inegalitatea f(x) ≤ 1 este adevărată pentru toate valorile lui x.

Punctul minim al funcției f(x) este un punct x 0 dacă există o astfel de vecinătate a punctului x 0 încât inegalitatea f(x) ≥ f(x 0) să fie satisfăcută pentru tot x din această vecinătate.

De exemplu, punctul x 0 = 2 este punctul minim al funcției f(x) = 3 + (x – 2) 2, deoarece f(2) = 3 și f(x) ≥ 3 pentru tot x.

Punctele extreme se numesc puncte minime și maxime.

Să ne întoarcem la funcția f(x), care este definită într-o anumită vecinătate a punctului x 0 și are o derivată în acest punct.

Dacă x 0 este punctul extrem al funcției diferențiabile f(x), atunci f "(x 0) = 0. Această afirmație se numește teorema lui Fermat.

Teorema lui Fermat are o semnificație geometrică clară: în punctul extremum, tangenta este paralelă cu axa absciselor și, prin urmare, panta ei.
f „(x 0) este egal cu zero.

De exemplu, funcția f(x) = 1 – 3x2 are un maxim în punctul x0 = 0, derivata sa f „(x) = -2x, f „(0) = 0.

Funcția f(x) = (x – 2) 2 + 3 are un minim în punctul x 0 = 2, f „(x) = 2(x – 2), f „(2) = 0.

Rețineți că dacă f "(x 0) = 0, atunci acest lucru nu este suficient pentru a afirma că x 0 este în mod necesar punctul extremum al funcției f (x).

De exemplu, dacă f(x) = x 3, atunci f "(0) = 0. Totuși, punctul x = 0 nu este un punct extrem, deoarece funcția x 3 crește de-a lungul întregii axe numerice.

Deci, punctele extreme ale funcției diferențiabile trebuie căutate numai printre rădăcinile ecuației
f "(x) = 0, dar rădăcina acestei ecuații nu este întotdeauna un punct extrem.

Punctele staționare sunt puncte în care derivata unei funcții este zero.

Astfel, pentru ca punctul x 0 să fie un punct extremum, este necesar ca acesta să fie un punct staționar.

Să considerăm condiții suficiente pentru ca punctul staționar să fie un punct extremum, i.e. condiţiile în care un punct staţionar este un punct de minim sau maxim al unei funcţii.

Dacă derivata din stânga punctului staționar este pozitivă, iar la dreapta – negativă, adică. derivata schimbă semnul „+” în semnul „–” la trecerea prin acest punct, atunci acest punct staționar este punctul maxim.

Într-adevăr, în acest caz, la stânga punctului staționar funcția crește, iar la dreapta scade, adică. acest punct este punctul maxim.

Dacă derivata schimbă semnul „–” în semnul „+” atunci când trece printr-un punct staționar, atunci acest punct staționar este un punct minim.

Dacă derivata nu își schimbă semnul la trecerea printr-un punct staționar, i.e. la stânga și la dreapta punctului staționar derivata este pozitivă sau negativă, atunci acest punct nu este un punct extremum.

Să luăm în considerare una dintre probleme. Aflați punctele extreme ale funcției f(x) = x 4 – 4x 3.

Soluţie.

1) Aflați derivata: f "(x) = 4x 3 – 12x 2 = 4x 2 (x – 3).

2) Aflați puncte staționare: 4x 2 (x – 3) = 0, x 1 = 0, x 2 = 3.

3) Utilizând metoda intervalului, stabilim că derivata f "(x) = 4x 2 (x – 3) este pozitivă pentru x > 3, negativă pentru x< 0 и при 0 < х < 3.

4) Deoarece la trecerea prin punctul x 1 = 0 semnul derivatei nu se schimbă, acest punct nu este un punct extremum.

5) Derivata schimbă semnul „–” în semnul „+” la trecerea prin punctul x 2 = 3. Prin urmare, x 2 = 3 este punctul minim.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Înainte de a învăța cum să găsiți extremele unei funcții, trebuie să înțelegeți ce este un extrem. Definiția cea mai generală a unui extremum este aceea că este, așa cum este folosit în matematică, cea mai mică sau cea mai mare valoare a unei funcții dintr-un anumit set de linii numerice sau grafic. În locul în care se află minimul apare extremul minim, iar unde este situat maximul apare extremul maxim. De asemenea, într-o disciplină precum analiza matematică, sunt identificate extremele locale ale unei funcții. Acum să vedem cum să găsim puncte extreme.

Extrema în matematică se referă la cele mai importante caracteristici funcțiile, acestea arată cea mai mare și cea mai mare valoare mică. Extremele se găsesc în principal în punctele critice ale funcțiilor aflate. Este de remarcat faptul că funcția își schimbă radical direcția în punctul extremum. Dacă calculați derivata punctului extremum, atunci, conform definiției, ar trebui să fie egal cu zero sau va fi complet absent. Astfel, pentru a afla cum să găsiți extremul unei funcții, trebuie să efectuați două sarcini secvențiale:

• găsiți derivata pentru funcția care trebuie determinată de sarcină;
• găsiți rădăcinile ecuației.

Secvența găsirii extremului

1. Scrieți funcția f(x) care este dată. Găsiți derivata sa de ordinul întâi f "(x). Echivalați expresia rezultată cu zero.
2. Acum trebuie să rezolvați ecuația rezultată. Soluțiile rezultate vor fi rădăcinile ecuației, precum și punctele critice ale funcției care se determină.
3. Acum determinăm ce puncte critice (maxim sau minim) sunt rădăcinile găsite. Următorul pas, după ce am învățat cum să găsim punctele extreme ale unei funcții, este să găsim derivata a doua a funcției dorite f "(x). Va fi necesar să înlocuim valorile punctelor critice găsite în o inegalitate specifică și apoi calculați ce se întâmplă Dacă se întâmplă acest lucru, Dacă derivata a doua se dovedește a fi mai mare decât zero în punctul critic, atunci va fi punctul minim, iar în caz contrar va fi punctul maxim.
4. Rămâne de calculat valoarea funcției inițiale la punctele maxime și minime necesare ale funcției. Pentru a face acest lucru, înlocuim valorile obținute în funcție și calculăm. Cu toate acestea, este de remarcat faptul că, dacă punctul critic se dovedește a fi un maxim, atunci extremul va fi maxim, iar dacă este un minim, atunci va fi minim prin analogie.

Algoritm pentru găsirea extremului

Pentru a rezuma cunoștințele acumulate, vom crea un scurt algoritm despre cum să găsim punctele extreme.

1. Găsim domeniul de definire al unei funcții date și intervalele acesteia, care determină cu precizie pe ce intervale funcția este continuă.
2. Aflați derivata funcției f "(x).
3. Se calculează punctele critice ale ecuației y = f (x).
4. Analizăm schimbările în direcția funcției f (x), precum și semnul derivatei f "(x) unde punctele critice împart domeniul de definiție al acestei funcții.
5. Acum determinăm dacă fiecare punct de pe grafic este un maxim sau un minim.
6. Găsim valorile funcției în acele puncte care sunt extreme.
7. Înregistrăm rezultatul acestui studiu - extreme și intervale de monotonitate. Asta este. Acum ne-am uitat la cum puteți găsi un extremum pe orice interval. Dacă trebuie să găsiți un extremum pe un anumit interval al unei funcții, atunci acest lucru se face într-un mod similar, trebuie luate în considerare doar limitele cercetării efectuate.

Deci, ne-am uitat la cum să găsim punctele extreme ale unei funcții. Cu ajutorul unor calcule simple, precum și cu cunoștințele privind găsirea derivatelor, puteți găsi orice extremum și îl puteți calcula, precum și să îl indicați grafic. Găsirea extremelor este una dintre cele mai importante secțiuni ale matematicii, atât în ​​școală, cât și în învățământul superior. instituție de învățământ, prin urmare, dacă înveți să le identifici corect, atunci învățarea va deveni mult mai ușoară și mai interesantă.