Pentru a clarifica acest lucru cu un exemplu concret, vă voi arăta ce corespunde în această interpretare următoarei afirmații: punctul (real sau imaginar) P se află pe dreapta (reala sau imaginară) g. În acest caz, desigur, trebuie să distingem următoarele cazuri:

1) punct real și linie reală,

2) punct real și linie imaginară,

Cazul 1) nu necesită nicio explicație specială din partea noastră; Aici avem una dintre relațiile de bază ale geometriei obișnuite.

În cazul 2) printr-un punct real dat, împreună cu o linie imaginară dată, trebuie să treacă și linia complexă conjugată; prin urmare, acest punct trebuie să coincidă cu vârful fasciculului de raze pe care îl folosim pentru a descrie linia imaginară.

În mod similar, în cazul 3), linia reală trebuie să fie identică cu suportul acelei involuții rectilinie a punctelor care servește ca reprezentant al unui punct imaginar dat.

Cel mai interesant este cazul 4) (Fig. 96): aici, evident, punctul conjugat complex trebuie să se afle și pe dreapta conjugată complexă și rezultă că fiecare pereche de puncte din involuția punctelor reprezentând punctul P trebuie să fie pe o pereche de linii în involuția liniilor, ilustrând linia dreaptă g, adică, că ambele aceste involuții ar trebui să fie situate în perspectivă una față de alta; în plus, rezultă că săgețile ambelor involuții sunt și ele localizate prospectiv.

În general, în geometria analitică a planului, care acordă atenție și regiunii complexe, vom obține o imagine reală completă a acestui plan dacă, la mulțimea tuturor punctelor și dreptelor sale reale, adăugăm ca elemente noi set de figuri involutive discutate mai sus, împreună cu săgețile direcțiilor lor. Va fi suficient aici dacă aș schița în general ce formă ar lua construcția unei imagini atât de reale a geometriei complexe. Procedând astfel, voi urma ordinea în care sunt prezentate acum de obicei primele propoziții ale geometriei elementare.

1) Ele încep cu axiomele existenței, al căror scop este de a da o formulare precisă a prezenței elementelor tocmai menționate într-o regiune extinsă în comparație cu geometria obișnuită.

2) Apoi axiomele conexiunii, care afirmă că și în regiunea extinsă definită la paragraful 1)! prin (fiecare) două puncte trece una și o singură linie și că (fiecare) două linii au unul și un singur punct în comun.

În acest caz, asemănător cu ceea ce am avut mai sus, trebuie să distingem de fiecare dată patru cazuri în funcție de dacă elementele date sunt reale și pare foarte interesant să ne gândim exact ce construcții reale cu involuții de puncte și linii servesc drept imagine. a acestor relaţii complexe.

3) Cât priveşte axiomele de aranjare (ordine), aici, în comparaţie cu relaţiile reale, apar în scenă circumstanţe cu totul noi; în special, toate punctele reale și complexe situate pe o linie fixă, precum și toate razele care trec printr-un punct fix, formează un continuum bidimensional. La urma urmei, fiecare dintre noi a învățat din studierea teoriei funcțiilor obiceiul de a reprezenta setul de valori ale unei variabile complexe prin toate punctele planului.

4) În sfârșit, referitor la axiomele de continuitate, voi indica aici doar cât de complexe sunt descrise punctele complexe situate cât se dorește de un punct real. Pentru a face acest lucru, prin punctul real luat P (sau printr-un alt punct real apropiat de acesta), trebuie să trasați o linie dreaptă și să luați în considerare două perechi de puncte care se separă unul de celălalt (adică, situat într-o „manieră încrucișată” ) (Fig. 97), astfel încât două puncte luate din perechi diferite se află aproape unul de celălalt și de punctul P; dacă acum apropiem punctele la nesfârșit, atunci involuția definită de perechile de puncte numite degenerează, adică ambele puncte duble complexe până acum coincid cu punctul Fiecare dintre cele două puncte imaginare descrise de această involuție (împreună cu unul sau cealaltă săgeată) trece, prin urmare, continuu până la un punct apropiat de punctul P, sau chiar direct de punctul P. Desigur, pentru a putea aplica în mod util aceste idei de continuitate, este necesar să se lucreze cu ele în detaliu .

Deși întreaga construcție este destul de greoaie și plictisitoare în comparație cu geometria reală obișnuită, poate produce incomparabil mai mult. În special, este capabil să ridice imaginile algebrice, înțelese ca mulțimi ale elementelor lor reale și complexe, la nivelul de claritate geometrică completă și, cu ajutorul ei, se pot înțelege clar în figurile înseși teoreme precum teorema fundamentală a algebrei sau Teorema lui Bezout conform căreia două ordine de curbe au, în general, puncte comune exact. În acest scop, ar fi necesar, desigur, să se înțeleagă principalele prevederi într-o formă mult mai precisă și mai vizuală decât s-a făcut până acum; cu toate acestea, literatura conține deja tot materialul esențial pentru o astfel de cercetare.

Dar, în cele mai multe cazuri, aplicarea acestei interpretări geometrice ar duce totuși, în ciuda tuturor avantajelor ei teoretice, la astfel de complicații încât trebuie să ne mulțumim cu posibilitatea ei fundamentală și să revenim efectiv la un punct de vedere mai naiv, care constă în următoarele : punct complex este o colecție de trei coordonate complexe și poate fi operată exact în același mod ca și cu punctele reale. De altfel, o asemenea introducere de elemente imaginare, abținându-se de la orice raționament principial, s-a dovedit întotdeauna rodnică în acele cazuri în care a trebuit să ne ocupăm de puncte ciclice imaginare sau de cercul de sfere. După cum am menționat deja, Poncelet a fost primul care a folosit elemente imaginare în acest sens; adepții săi în acest sens au fost alți geometri francezi, în principal Chals și Darboux; în Germania, o serie de geometri, în special Lie, au folosit și ei această înțelegere a elementelor imaginare cu mare succes.

Cu această retragere în tărâmul imaginarului, închei întreaga a doua secțiune a cursului meu și mă întorc la un nou capitol,

Linii de ordinul doi

drepte plane ale căror coordonate dreptunghiulare carteziene satisfac o ecuație algebrică de gradul 2

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

Ecuația (*) poate să nu definească o imagine geometrică reală, dar pentru a păstra generalitatea în astfel de cazuri se spune că definește o imagine liniară imaginară. etc. În funcție de valorile coeficienților ecuației generale (*), aceasta poate fi transformată prin transfer paralel al originii și rotația sistemului de coordonate cu un anumit unghi la unul dintre cele 9 tipuri canonice prezentate mai jos, fiecare dintre care corespunde unei anumite clase de linii. Exact,

linii indestructibile:

y 2 = 2px - parabole,

linii de degradare:

x 2 - a 2 = 0 - perechi de linii paralele,

x 2 + a 2 = 0 - perechi de drepte paralele imaginare,

x 2 = 0 - perechi de drepte paralele coincidente.

Studiul tipului de L. v. poate fi efectuată fără a reduce ecuația generală la formă canonică. Acest lucru se realizează prin luarea în considerare în comun a semnificațiilor așa-numitului. invarianții de bază ai v-ului liniar. n - expresii compuse din coeficienți ai ecuației (*), ale căror valori nu se modifică în timpul translației și rotației paralele a sistemului de coordonate:

S = a 11 + a 22,(a ij = a ji).

Deci, de exemplu, elipsele, ca liniile nedezintegrabile, sunt caracterizate prin faptul că pentru ele Δ ≠ 0; o valoare pozitivă a invariantului δ distinge elipsele de alte tipuri de linii nedezintegrabile (pentru hiperbolele δ

Trei invarianți principali Δ, δ și S determină mișcarea liniară. p. (cu excepția cazului dreptelor paralele) până la mișcarea (Vezi Mișcarea) planului euclidian: dacă invarianții corespunzători Δ, δ și S a două drepte sunt egale, atunci astfel de drepte pot fi combinate prin mișcare. Cu alte cuvinte, aceste linii sunt echivalente în raport cu grupul de mișcări ale planului (echivalent metric).

Există clasificări ale lui L. v. din punctul de vedere al altor grupuri de transformare. Astfel, relativ mai general decât grupul de mișcări - grupul de transformări afine (vezi Transformări afine) - oricare două linii definite prin ecuații de aceeași formă canonică sunt echivalente. De exemplu, două L. v. n. (vezi asemănarea) sunt considerate echivalente. Legături între diferite clase afine de v liniar. p. ne permite să stabilim o clasificare din punct de vedere al geometriei proiective (Vezi Geometria proiectivă), în care elementele la infinit nu joacă un rol deosebit. Medicamente reale care nu se dezintegrează. p.: elipsele, hiperbolele și parabolele formează o clasă proiectivă - clasa liniilor ovale reale (ovale). O linie ovală reală este o elipsă, o hiperbolă sau o parabolă, în funcție de modul în care este situată față de o dreaptă la infinit: o elipsă intersectează o linie necorespunzătoare în două puncte imaginare, o hiperbolă în două puncte reale diferite, o parabolă atinge un linie necorespunzătoare; există transformări proiective care transformă aceste linii una în alta. Există doar 5 clase de echivalență proiectivă de vectori liniari. p. exact,

linii nedegenerate

(x 1 , x 2 , x 3- coordonate omogene):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - oval real,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - oval imaginar,

linii degenerante:

x 1 2 - x 2 2= 0 - pereche de linii reale,

x 1 2 + x 2 2= 0 - o pereche de linii imaginare,

x 1 2= 0 - o pereche de linii reale care coincid.

A. B. Ivanov.

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Vedeți ce sunt „liniile de ordinul al doilea” în alte dicționare:

Linii plane ale căror coordonate dreptunghiulare ale punctelor satisfac o ecuație algebrică de gradul II. Printre liniile de ordinul doi se numără elipse (în special, cercuri), hiperbole, parabole... Dicţionar enciclopedic mare

Linii plane ale căror coordonate dreptunghiulare ale punctelor satisfac o ecuație algebrică de gradul II. Printre liniile de ordinul doi se numără elipse (în special, cercuri), hiperbole și parabole. * * * LINII ALE ORDINULUI AL DOILEA RINDURI ALE ORDINULUI AL DOILEA,... ... Dicţionar enciclopedic

Linii plate, dreptunghiulare. coordonatele punctelor satisfac algebrele. Nivelul de gradul II. Printre L. v. etc. elipse (în special, cercuri), hiperbole, parabole... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

O linie plată, coordonatele dreptunghiulare carteziene satisfac algebricul. ecuația de gradul 2 Ecuația (*) poate să nu determine geometria reală. imagine, dar pentru a păstra generalitatea în astfel de cazuri se spune că aceasta determină... ... Enciclopedie matematică

O mulțime de puncte ale spațiului real (sau complex) tridimensional ale căror coordonate în sistemul cartezian satisfac algebricul. ecuația de gradul 2 (*) Ecuația (*) poate să nu determine geometria reală. imagini, în astfel de...... Enciclopedie matematică

Acest cuvânt, foarte des folosit în geometria liniilor curbe, are un sens neclar. Când acest cuvânt este aplicat liniilor curbe neînchise și neramificate, atunci prin o ramură a curbei se înțelege fiecare continuă separată... ... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

Linii de ordinul doi, cu două diametre, fiecare dintre ele bisectând coardele acestei curbe, paralele cu cealaltă. S. d. joacă un rol important în teoria generală a liniilor de ordinul doi. Când proiectează simultan o elipsă în circumferința ei, S. d.... ...

Linii care se obțin prin tăierea unui Con circular drept cu plane care nu trec prin vârful acestuia. K. s. poate fi trei tipuri: 1) planul de tăiere intersectează toate generatricele conului în punctele uneia dintre cavitățile acestuia; linie...... Marea Enciclopedie Sovietică

Linii obținute prin tăierea unui con circular drept cu plane care nu trec prin vârful acestuia. K. s. poate fi de trei tipuri: 1) planul de tăiere intersectează toate generatricele conului în punctele uneia dintre cavitățile acestuia (Fig., a): linia de intersecție... ... Enciclopedie matematică

Sectiunea de geometrie. Conceptele de bază ale geometriei geometrice sunt cele mai simple imagini geometrice (puncte, linii drepte, plane, curbe și suprafețe de ordinul doi). Principalele mijloace de cercetare în AG sunt metoda coordonatelor (vezi mai jos) și metodele... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Cărți

• Curs scurt de geometrie analitică, Efimov Nikolai Vladimirovici. Subiectul studiului geometriei analitice îl constituie figurile care sunt specificate în coordonate carteziene prin ecuații de gradul I sau II. Pe un plan, acestea sunt linii drepte și linii de ordinul doi...

8.3.15. Punctul A se află pe o linie dreaptă. Distanța de la punctul A la plan

8.3.16. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care este simetrică cu o dreaptă

raportat la avion .

8.3.17. Scrieți ecuațiile pentru proiecțiile pe un plan următoarele rânduri:

A) ;

b)

V) .

8.3.18. Aflați unghiul dintre plan și linie:

A) ;

b) .

8.3.19. Găsiți un punct simetric față de punct raportat la planul care trece prin linii:

Și

8.3.20. Punctul A se află pe o linie dreaptă

Distanța de la punctul A la linia dreaptă egal cu . Aflați coordonatele punctului A.

§ 8.4. CURBELE DE ORDIN A DOUA

Să stabilim un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și să considerăm ecuația generală de gradul doi

in care .

Se numește mulțimea tuturor punctelor planului ale căror coordonate satisfac ecuația (8.4.1). strâmb (linia) a doua comanda.

Pentru orice curbă de ordinul doi există un sistem de coordonate dreptunghiular, numit canonic, în care ecuația acestei curbe are una dintre următoarele forme:

1) (elipsă);

2) (elipsa imaginara);

3) (o pereche de linii imaginare care se intersectează);

4) (hiperbolă);

5) (o pereche de linii care se intersectează);

6) (parabolă);

7) (o pereche de linii paralele);

8) (o pereche de linii paralele imaginare);

9) (o pereche de linii care coincid).

Se numesc ecuațiile 1) – 9). ecuații canonice ale curbelor de ordinul doi.

Rezolvarea problemei de reducere a ecuației unei curbe de ordinul doi la formă canonică implică găsirea ecuației canonice a curbei și a sistemului de coordonate canonic. Reducerea la forma canonică permite calcularea parametrilor curbei și determinarea locației acesteia în raport cu sistemul de coordonate original. Tranziție de la sistemul de coordonate dreptunghiular original la canonic se realizează prin rotirea axelor sistemului de coordonate original în jurul punctului O cu un anumit unghi j și translația paralelă ulterioară a sistemului de coordonate.

Invarianții curbei de ordinul doi(8.4.1) sunt astfel de funcții ale coeficienților ecuației sale, ale căror valori nu se modifică la trecerea de la un sistem de coordonate dreptunghiular la altul din același sistem.

Pentru o curbă de ordinul doi (8.4.1), suma coeficienților pentru coordonatele pătrate

,

determinant compus din coeficienţi ai termenilor conducători

și determinant de ordinul trei

sunt invariante.

Valoarea invarianților s, d, D poate fi utilizată pentru a determina tipul și a compune ecuația canonică a curbei de ordinul doi.

Tabelul 8.1.

Clasificarea curbelor de ordinul doi pe baza invarianților

Curba eliptică		sD<0. Эллипс
		sD>0. Elipsă imaginară
		O pereche de linii imaginare care se intersectează într-un punct real
Curba hiperbolica		Hiperbolă
		Pereche de linii care se intersectează
Curba parabolica		Parabolă
		O pereche de linii paralele (diferite, imaginare sau coincidente)

Să aruncăm o privire mai atentă asupra elipsei, hiperbolei și parabolei.

Elipsă(Fig. 8.1) este locul geometric al punctelor din plan pentru care suma distanțelor la două puncte fixe acest avion, numit focare de elipsă, este o valoare constantă (mai mare decât distanța dintre focare). În acest caz, coincidența focarelor elipsei nu este exclusă. Dacă focarele coincid, atunci elipsa este un cerc.

Jumătatea distanțelor de la un punct al elipsei la focarele sale se notează cu a, jumătate din distanțe dintre focare cu c. Dacă un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan este ales astfel încât focarele elipsei să fie situate pe axa Ox simetric față de origine, atunci în acest sistem de coordonate elipsa este dată de ecuație

, (8.4.2)

numit ecuația elipsei canonice, Unde .

Orez. 8.1

Cu alegerea specificată a unui sistem de coordonate dreptunghiular, elipsa este simetrică în raport cu axele de coordonate și cu originea. Axele de simetrie ale unei elipse se numesc topoare, iar centrul de simetrie este centrul elipsei. În același timp, numerele 2a și 2b sunt adesea numite axele elipsei, iar numerele a și b sunt mareȘi axa minoră respectiv.

Punctele de intersecție ale unei elipse cu axele sale se numesc vârfurile elipsei. Vârfurile elipsei au coordonatele (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b).

Excentricitatea elipsei număr numit

De la 0£c

.

Aceasta arată că excentricitatea caracterizează forma elipsei: cu cât e este mai aproape de zero, cu atât elipsa seamănă mai mult cu un cerc; pe măsură ce e crește, elipsa devine mai alungită.

Aceasta este forma standard acceptată în general a unei ecuații, când în câteva secunde devine clar ce obiect geometric definește. În plus, forma canonică este foarte convenabilă pentru rezolvarea multor probleme practice. Deci, de exemplu, conform ecuației canonice „plat” drept, în primul rând, este imediat clar că aceasta este o linie dreaptă, iar în al doilea rând, punctul care îi aparține și vectorul de direcție sunt ușor vizibile.

Este evident că oricare Prima linie de comandă este o linie dreaptă. La etajul doi, nu ne mai așteaptă paznicul, ci o companie mult mai diversă de nouă statui:

Clasificarea liniilor de ordinul doi

Folosind un set special de acțiuni, orice ecuație a unei linii de ordinul doi este redusă la una dintre următoarele forme:

(și sunt numere reale pozitive)

1) – ecuația canonică a elipsei;

2) – ecuația canonică a unei hiperbole;

3) – ecuația canonică a unei parabole;

4) – imaginar elipsă;

5) – o pereche de drepte care se intersectează;

6) – pereche imaginar linii de intersectare (cu un singur punct de intersecție valid la origine);

7) – o pereche de drepte paralele;

8) – pereche imaginar linii paralele;

9) – o pereche de linii coincidente.

Unii cititori pot avea impresia că lista este incompletă. De exemplu, la punctul nr. 7, ecuația specifică perechea direct, paralel cu axa, și se pune întrebarea: unde este ecuația care determină dreptele paralele cu axa ordonatelor? Raspunde neconsiderat canonic. Liniile drepte reprezintă același caz standard, rotit cu 90 de grade, iar intrarea suplimentară în clasificare este redundantă, deoarece nu aduce nimic fundamental nou.

Astfel, există nouă și doar nouă tipuri diferite de linii de ordinul 2, dar în practică cele mai comune sunt elipsa, hiperbola si parabola.

Să ne uităm mai întâi la elipsă. Ca de obicei, mă concentrez asupra acelor puncte care sunt de mare importanță pentru rezolvarea problemelor și, dacă aveți nevoie de o derivare detaliată a formulelor, demonstrații de teoreme, vă rugăm să consultați, de exemplu, manualul lui Bazylev/Atanasyan sau Aleksandrov..

Elipsa și ecuația ei canonică

Ortografie... vă rugăm să nu repetați greșelile unor utilizatori Yandex care sunt interesați de „cum să construiți o elipsă”, „diferența dintre o elipsă și un oval” și „excentricitatea unei elipse”.

Ecuația canonică a unei elipse are forma , unde sunt numere reale pozitive și . Voi formula însăși definiția unei elipse mai târziu, dar deocamdată este timpul să luăm o pauză de la magazinul vorbitor și să rezolvăm o problemă comună:

Cum se construiește o elipsă?

Da, doar ia-l și desenează-l. Sarcina are loc frecvent și o parte semnificativă a elevilor nu fac față desenului corect:

Exemplul 1

Construiți elipsa dată de ecuație

Soluţie: În primul rând, să aducem ecuația la forma canonică:

De ce să aduci? Unul dintre avantajele ecuației canonice este că vă permite să determinați instantaneu vârfurile elipsei, care sunt situate în puncte. Este ușor de observat că coordonatele fiecăruia dintre aceste puncte satisfac ecuația.

În acest caz :


Segment de linie numit axa majoră elipsă;
segment de linie – axa minoră;
număr numit arbore semi-major elipsă;
număr – axa minoră.
în exemplul nostru: .

Pentru a vă imagina rapid cum arată o anumită elipsă, priviți doar valorile „a” și „fi” ale ecuației sale canonice.

Totul este bine, neted și frumos, dar există o avertizare: am finalizat desenul folosind programul. Și puteți face desenul folosind orice aplicație. Cu toate acestea, în realitate dură, există o bucată de hârtie în carouri pe masă, iar șoarecii dansează în cercuri pe mâinile noastre. Oamenii cu talent artistic, desigur, se pot certa, dar ai și șoareci (deși mai mici). Nu degeaba omenirea a inventat rigla, busola, raportorul și alte dispozitive simple pentru desen.

Din acest motiv, este puțin probabil să reușim să desenăm cu precizie o elipsă cunoscând doar vârfurile. Este în regulă dacă elipsa este mică, de exemplu, cu semi-axe. Alternativ, puteți reduce scara și, în consecință, dimensiunile desenului. Dar, în general, este foarte de dorit să găsiți puncte suplimentare.

Există două abordări pentru construirea unei elipse - geometrică și algebrică. Nu îmi place construcția folosind o busolă și o riglă, deoarece algoritmul nu este cel mai scurt și desenul este semnificativ aglomerat. În caz de urgență, vă rugăm să consultați manualul, dar în realitate este mult mai rațional să folosiți instrumentele algebrei. Din ecuația elipsei din schiță exprimăm rapid:

Ecuația se descompune apoi în două funcții:
– definește arcul superior al elipsei;
– definește arcul inferior al elipsei.

Orice elipsă este simetrică față de axele de coordonate, precum și față de origine. Și acest lucru este grozav - simetria este aproape întotdeauna un prevestitor al gratuităților. Evident, este suficient să ne ocupăm de primul trimestru de coordonate, așa că avem nevoie de funcție . Se roagă să se găsească puncte suplimentare cu abscise . Să atingem trei mesaje SMS pe calculator:

Desigur, este, de asemenea, frumos că, dacă se face o greșeală gravă în calcule, aceasta va deveni imediat clară în timpul construcției.

Să marchem punctele pe desen (roșu), punctele simetrice pe arcele rămase (albastru) și să conectăm cu atenție întreaga companie cu o linie:


Este mai bine să desenați schița inițială foarte subțire și abia apoi să aplicați presiune cu un creion. Rezultatul ar trebui să fie o elipsă destul de decentă. Apropo, ai vrea să știi ce este această curbă?

Vom arăta acum că clasificarea afină a curbelor de ordinul doi este dată de numele curbelor în sine, adică, că clasele afine ale curbelor de ordinul doi sunt clasele:

elipse reale;

elipse imaginare;

hiperbolă;

perechi de linii reale care se intersectează;

perechi de imaginare (conjugate) care se intersectează;

perechi de drepte reale paralele;

perechi de linii conjugate imaginare paralele;

perechi de linii reale coincidente.

Trebuie să demonstrăm două afirmații:

A. Toate curbele cu același nume (adică toate elipsele, toate hiperbolele, etc.) sunt echivalente în mod afin una cu cealaltă.

B. Două curbe cu nume diferite nu sunt niciodată echivalente afin.

Demonstrăm afirmația A. În capitolul XV, § 3, s-a dovedit deja că toate elipsele sunt echivalente în mod afin cu una dintre ele, și anume un cerc, iar toate hiperbolele sunt o hiperbolă. Aceasta înseamnă că toate elipsele, respectiv toate hiperbolele, sunt afin echivalent între ele. Toate elipsele imaginare, fiind echivalente afine cu un cerc - - 1 rază, sunt de asemenea echivalente afin între ele.

Să demonstrăm echivalența afină a tuturor parabolelor. Vom demonstra și mai mult, și anume că toate parabolele sunt asemănătoare între ele. Este suficient să demonstrăm că o parabolă dată într-un anumit sistem de coordonate prin ecuația sa canonică

asemănător unei parabole

Pentru a face acest lucru, supunem planul unei transformări de similaritate cu un coeficient -:

Apoi, cu transformarea noastră, curba

se transformă într-o curbă

adică într-o parabolă

Q.E.D.

Să trecem la curbele în descompunere. În § formulele (9) și (11), pp. 401 și 402) s-a dovedit că o curbă care se împarte într-o pereche de linii care se intersectează într-un sistem de coordonate (chiar dreptunghiular) are ecuația

Făcând o transformare suplimentară de coordonate

vedem că orice curbă care se împarte într-o pereche de linii drepte reale, respectiv imaginare conjugate, care se intersectează, are ecuația într-un sistem de coordonate afine.

În ceea ce privește curbele care se împart într-o pereche de linii paralele, fiecare dintre ele poate fi (chiar și într-un sistem de coordonate dreptunghiular) dată de ecuație

pentru cele reale, respectiv

pentru imaginar, direct. Transformarea coordonatelor ne permite să punem în aceste ecuații (sau pentru linii drepte care coincid. Aceasta implică echivalența afină a tuturor curbelor în descompunere de ordinul doi care au același nume.

Să trecem la proba afirmației B.

Să remarcăm în primul rând: la o transformare afină a planului, ordinea curbei algebrice rămâne neschimbată. Mai mult: fiecare curbă în descompunere de ordinul doi este o pereche de linii drepte, iar cu o transformare afină, o linie dreaptă trece într-o linie dreaptă, o pereche de linii care se intersectează într-o pereche de linii care se intersectează și o pereche de linii paralele merge într-o pereche de paralele; în plus, liniile reale se transformă în linii reale, iar liniile imaginare în linii imaginare. Aceasta rezultă din faptul că toți coeficienții din formulele (3) (Capitolul XI, § 3), care determină transformarea afină, sunt numere reale.

Din cele spuse rezultă că o linie echivalentă în mod afin cu o curbă de descompunere dată de ordinul doi este o curbă de descompunere cu același nume.

Să trecem la curbele care nu se descompun. Din nou, cu o transformare afină, o curbă reală nu se poate transforma într-una imaginară și invers. Prin urmare, clasa elipselor imaginare este afin invariantă.

Să luăm în considerare clasele de curbe reale care nu se descompun: elipse, hiperbole, parabole.

Dintre toate curbele de ordinul doi, fiecare elipsă, și numai o elipsă, se află într-un anumit dreptunghi, în timp ce parabolele și hiperbolele (precum toate curbele în descompunere) se extind până la infinit.

Sub o transformare afină, dreptunghiul ABCD care conține elipsa dată se va transforma într-un paralelogram care conține curba transformată, care, astfel, nu poate merge la infinit și, prin urmare, este o elipsă.

Deci, o curbă echivalentă afine cu o elipsă este cu siguranță o elipsă. Din ceea ce s-a dovedit rezultă că o curbă echivalentă afin cu o hiperbolă sau parabolă nu poate fi o elipsă (și, de asemenea, după cum știm, nu poate fi o curbă în descompunere. Prin urmare, rămâne doar să demonstrăm că, cu o transformare afină a planului , o hiperbolă nu se poate transforma într-o parabolă și, dimpotrivă, acest lucru, poate, cel mai simplu rezultă din faptul că o parabolă nu are un centru de simetrie, dar o hiperbolă are unul pentru că o parabolă va fi dovedită doar în capitolul următor, vom oferi acum o a doua, de asemenea, foarte simplă neechivalență afină a hiperbolei și a parabolei.

Lema. Dacă o parabolă are puncte comune cu fiecare dintre cele două semiplane definite în planul unei drepte date d, atunci are cel puțin un punct comun cu dreapta .

De fapt, am văzut că există un sistem de coordonate în care o parabolă dată are ecuația

Fie, relativ la acest sistem de coordonate, dreapta d are ecuația

Prin presupunere, există două puncte pe parabolă, dintre care unul, să spunem, se află în semiplanul pozitiv și celălalt în semiplanul negativ în raport cu ecuația (1). Prin urmare, amintindu-ne că putem scrie