Taylor servește mijloace eficiente pentru studierea funcțiilor analitice într-un cerc zol Pentru studierea funcțiilor analitice într-un domeniu inel, se dovedește a fi posibil să se construiască expansiuni în puteri pozitive și negative (z - zq) de forma generalizării expansiunilor Taylor. Seria (1), înțeleasă ca suma a două serii, se numește seria Laurent. Este clar că regiunea de convergență a seriei (1) este partea comună a regiunilor de convergență ale fiecărei serii (2). Să o găsim. Aria de convergență a primei serii este un cerc a cărui rază este determinată de formula Cauchy-Hadamard În interiorul cercului de convergență, seria (3) converge către o funcție analitică, iar în orice cerc de rază mai mică, converge. absolut și uniform. A doua serie este o serie de puteri în raport cu o variabilă Seria (5) converge în cadrul cercului său de convergență către funcția analitică a unei variabile complexe m-*oo, iar în orice cerc de rază mai mică converge absolut și uniform. înseamnă că aria de convergență a seriei (4) este exteriorul cercului - Dacă atunci există o zonă comună de convergență a seriei (3) și (4) - un inel circular în care seria (1) converge către o funcție analitică. Mai mult, în orice inel, acesta converge absolut și uniform. Exemplul 1. Determinați regiunea de convergență a seriei rad Laurent Puncte singulare izolate și clasificarea lor M Regiunea de convergență a primei serii este exteriorul cercului și regiunea de convergență a celei de-a doua serii este interiorul cercului Astfel, această serie converge în cercuri Teorema 15. Orice funcție f (z), neechivocă și apolitică dintr-un inel circular poate fi reprezentată în acest inel ca suma unei serii convergente, ai cărei coeficienți Cn sunt determinați și calculați în mod unic conform formulelor unde 7p este un cerc cu raza m Să fixăm un punct arbitrar z în interiorul inelului R. Să construim cercuri cu centre în punctul r, ale căror raze satisfac inegalitățile și să considerăm un nou inel Folosind teorema integrală a lui Cauchy pentru o regiune multiplă, avem Transformăm separat fiecare dintre integralele din suma (8). Pentru toate punctele £ de-a lungul cercului 7d* relația de sumă a seriei uniform convergente 1 1 este satisfăcută. Prin urmare, fracția ^ poate fi reprezentată în vi- / "/ Înmulțind ambele părți cu o funcție continuă (O și efectuând. integrarea termen cu termen de-a lungul cercului, obținem că realizăm transformarea integralei a doua într-un mod ușor diferit ca suma unei serii uniform convergente Înmulțind ambele părți cu o funcție continuă) și integrând în termeni de-a lungul cercului 7/, obținem că. Rețineți că integranții din formulele (10) și (12) sunt funcții analitice într-un inel circular. Prin urmare, în virtutea teoremei lui Cauchy, valorile integralelor corespunzătoare nu se vor schimba dacă înlocuim cercurile 7/r și 7r/ cu orice cerc. Acest lucru ne permite să combinăm formulele (10) și (12) Înlocuind integralele din partea dreaptă a formulei (8) cu expresiile lor (9) și respectiv (11), obținem expansiunea necesară punct al inelului, rezultă că seria ( 14) converge către funcția f(z) peste tot în acest inel, iar în orice inel seria converge către această funcție în mod absolut și uniform. Să demonstrăm acum că descompunerea formei (6) este unică. Să presupunem că mai există o expansiune Apoi peste tot în interiorul inelului R vom avea Pe cerc, seria (15) converge uniform. Să înmulțim ambele părți ale egalității (unde m este un număr întreg fix și să integrăm ambele serii termen cu termen. Ca rezultat, obținem în partea stângă, iar în dreapta - St. Astfel, (4, = St. Deoarece m este un număr arbitrar, ultima egalitate demonstrează unicitatea seriei (6), ai cărei coeficienți sunt calculați folosind formulele (7), se numește seria Laurent a funcției f(z) din inel setul de termeni ai acestei serii cu puteri nenegative se numește partea corectă a seriei Laurent, iar cu cei negativi - partea sa principală Formulele (. 7) pentru coeficienții seriei Laurent sunt rar utilizate în practică, deoarece, ca un de regulă, acestea necesită calcule greoaie de funcţii din diverse regiuni, presupunând că f(r) are două puncte singulare: De aceea, există trei regiuni inelare, cu centrul în punctul r = 0. în fiecare dintre ele funcţia /(r) este analitică: a. ) inel cerc exteriorul cercului (Fig. 27). Să găsim expansiunile Laurent ale funcției /(z) în fiecare dintre aceste regiuni. Reprezentăm /(z) ca o sumă de fracții elementare a) Cercul Transformăm relația (16) după cum urmează. Înlocuim expansiunile găsite în formula (17). : Această expansiune este seria Taylor a funcției /(z). b) Inelul pentru funcția -r rămâne convergent în acest inel, deoarece Seria (19) pentru funcția j^j pentru |z| > 1 diverge. Prin urmare, transformăm funcția /(z) astfel: aplicând din nou formula (19), obținem că Această serie converge pentru. Înlocuind expansiunile (18) și (21) în relația (20), obținem c) Exteriorul cercului pentru funcția -z pentru |z| > 2 diverge, iar seria (21) pentru func- Să reprezentăm funcția /(z) în următoarea formă: /<*>Folosind formulele (18) și (19), obținem OR 1 Acest exemplu arată că pentru aceeași funcție f(z) expansiunea Laurent, în general, are fel diferit pentru diferite inele. Exemplul 3. Aflați expansiunea celei de-a 8-a serii Laurent a unei funcții Serie Laurent Puncte singulare izolate și clasificarea lor într-un domeniu inel A Folosim reprezentarea funcției f(z) în următoarea formă: și transformăm al doilea termen Folosind formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice, obținem Înlocuind expresiile găsite în formula (22), avem Exemplul 4. Extindeți funcția din seria Laurent în punctul zq = 0. Pentru orice complex avem Put This expansiunea este valabilă pentru orice punct z Ф 0. În în acest caz, regiunea inelară reprezintă întregul plan complex cu un punct aruncat z - 0. Această regiune poate fi definită prin următoarea relație: Această funcție este analitică în regiunea Din formulele (13) pentru coeficienții seriei Laurent, folosind aceeași raționând ca în paragraful anterior, se pot obține inegalitățile Kouiw. dacă funcția f(z) este mărginită pe un cerc, unde M este o constantă), atunci Puncte singulare izolate Punctul zo se numește punct singular izolat al funcției f(z) dacă există o vecinătate inelă a punctului ( această mulțime se numește uneori o vecinătate perforată a punctului 2o), în care funcția f(z) este unică și analitică. În punctul zo însuși, funcția este fie nedefinită, fie lipsită de ambiguitate și analitică. În funcție de comportamentul funcției /(r) la apropierea punctului zo se disting trei tipuri de puncte singulare. Se spune că un punct singular izolat este: 1) detașabil dacă există un finit 2) pmusach dacă 3) un punct esențial singular dacă funcția f(z) nu are limită la Tipul unui punct singular izolat este strâns legat de natura expansiunii Laurent a functiei prin centrul perforat al . Teorema 16. Un punct singular izolat z0 al unei funcții f(z) este un punct singular detașabil dacă și numai dacă expansiunea Laurent a funcției f(z) într-o vecinătate a punctului zo nu conține o parte principală, adică, are forma Fie zo detașabil punct singular. Atunci există un finit, prin urmare, funcția f(z) este mărginită într-o vecinătate procologică a punctului z. Punem în virtutea inegalităților lui Cauchy Deoarece p poate fi ales arbitrar mic, atunci toți coeficienții la puteri negative (z. - 20) sunt egale cu zero: Dimpotrivă, fie Laurent extinderea funcției /(r) într-o vecinătate a punctului zq conține doar partea corectă, adică are forma (23) și, prin urmare, este Taylor. Este ușor de observat că pentru z -* z0 funcția /(z) are o valoare limită: Teorema 17. Un punct singular izolat zq al funcției f(z) este detașabil dacă și numai dacă funcția J(z) este delimitat într-o vecinătate perforată a punctului zq, Zgmechai nu. Fie r un punct singular detașabil al funcției /(r). Presupunând că funcția /(r) este analitică într-un cerc cu centrul în punctul r. Aceasta determină numele punctului - detașabil. e. are forma 4 Fie z0 un pol. De atunci există o vecinătate perforată a punctului z0 în care funcția f(z) este analitică și diferită de zero. Atunci în această vecinătate este definită o funcție analitică și Prin urmare, punctul zq este un punct singular detașabil (zero) al funcției sau unde h(z) este o funcție analitică, h(z0) Φ 0. Atunci h(zo) Φ 0 este și analitică, atunci funcția φ este analitică într-o vecinătate a punctului zq și, prin urmare, de unde obținem că Să presupunem acum că funcția f(z) are o expansiune a formei (24) într-o vecinătate perforată de punctul zо. Aceasta înseamnă că în această vecinătate funcția f(z) este analitică împreună cu funcția. Pentru funcția g(z) expansiunea este valabilă, din care se poate observa că zq este un punct singular detașabil al funcției g(z) și există atunci funcția la 0 tinde să fie polul funcției este un alt fapt simplu. Punctul Zq este un pol al funcției f(z) dacă și numai dacă funcția g(z) = yj poate fi extinsă la o funcție analitică în vecinătatea punctului zq prin stabilirea g(z0) = 0. Ordinea al polului funcţiei f(z) se numeşte ordinul zero al funcţiei jfa. Următoarea afirmație decurge din teoremele 16 și 18. Teorema 19. Un punct singular izolat este în esență singular dacă și numai dacă partea principală a expansiunii Laurent într-o vecinătate perforată a acestui punct conține infiniti de termeni nenuli. Exemplul 5. Punctul singular al funcției este zo = 0. Avem Seria Laurent Puncte singulare izolate și clasificarea lor Prin urmare, zo = O este un punct singular amovibil. Extinderea funcției /(z) într-o serie Laurent în vecinătatea punctului zero conține doar partea corectă: Exemplul7. /(z) = Punctul singular al funcției f(z) este zq = 0. Să considerăm comportamentul acestei funcții pe axa reală și pe axa imaginară: pe axa reală la x 0, pe axa imaginară În consecință, există nu este nici o limită finită, nici infinită pentru f(z) la z -* 0 nu există. Aceasta înseamnă că punctul r = 0 este un punct esențial singular al funcției f(z). Să găsim expansiunea Laurent a funcției f(z) în vecinătatea punctului zero. Pentru orice complex C avem Set. Atunci expansiunea Laurent conține un număr infinit de termeni cu puteri negative ale lui z.

Definiţie. Punctul singular al unei funcții se numește izolat, dacă într-o vecinătate a acestui punct este o funcție analitică (adică analitică într-un inel).

Clasificarea punctelor singulare izolate ale unei funcții este legată de comportamentul acestei funcții în vecinătatea punctului singular.

Definiţie. Punctul se numește amovibil punct singular al unei funcţii dacă există o limită finită a acestei funcţii la .

Exemplul 5. Arătați că funcția are o singularitate amovibilă într-un punct.

Soluţie. Amintindu-ne de prima limită remarcabilă, calculăm

Aceasta înseamnă că la un moment dat funcția dată are o singularitate detașabilă.

Sarcina 4. Arătați că punctul este detașabil pentru .

Definiţie. Punctul se numește pol funcție, dacă această funcție crește fără limită la , adică .

Să fim atenți la legătura dintre conceptele de zero și pol ale unei funcții analitice. Să reprezentăm funcția sub forma .

Dacă un punct este un zero simplu al unei funcții, atunci funcția are un pol simplu

Dacă un punct este un zero de ordin pentru o funcție, atunci pentru funcție este un pol comanda .

Exemplul 6. Arătați că funcția are un pol de ordinul trei într-un punct.

Soluţie. Presupunând că obținem. Deoarece avem tendința de a ajunge la zero, după orice lege avem . Apoi, și odată cu ea, funcția în sine crește la nesfârșit. Prin urmare, , adică punctul singular este un pol. Pentru funcție, acest punct este evident triplu zero. Aceasta înseamnă că pentru această funcție punctul este un pol de ordinul trei.

Sarcina 5. Arătați că un punct are un pol simplu.

Definiţie. Punctul se numește semnificativ special punct al unei funcții, dacă în acest punct nu există nici o limită finită, nici infinită a funcției (comportamentul funcției nu este definit).

Fie un punct esențial singular al funcției . Apoi, pentru orice număr complex dat, există o succesiune de puncte care converg către , de-a lungul căreia valorile tind să: ( teorema lui Sokhotsky).

Exemplul 7. Arătați că funcția într-un punct are o caracteristică esențială.

Soluţie. Să luăm în considerare comportamentul funcției date în vecinătatea punctului. Când de-a lungul părții pozitive a axei reale (adică) avem și ; dacă de-a lungul părții negative a axei reale (adică), atunci și . Aceasta înseamnă că nu există limită la . Prin definiție, la un moment dat o funcție are o singularitate esențială.

Să considerăm comportamentul funcției la zero din punctul de vedere al teoremei lui Sokhotsky. Lasă - orice număr complex, diferit de zero și infinit.

Din egalitatea găsim . Presupunând , obținem o succesiune de puncte , . Evident, . În fiecare punct al acestei secvențe funcția este egală cu , prin urmare

Sarcina 6. Arătați că funcția are o singularitate esențială într-un punct.

Punctul de la infinit este întotdeauna considerat special pentru funcție. Un punct se numește punct singular izolat al unei funcții dacă această funcție nu are alte puncte singulare în afara unui anumit cerc centrat la origine.

Clasificarea punctelor singulare izolate poate fi extinsă la caz.

Exemplul 8. Arătați că funcția are un pol dublu la infinit.

Soluţie. Luați în considerare funcția , unde este o funcție analitică într-o vecinătate a punctului și . Aceasta înseamnă că funcția are un zero dublu la infinit, dar atunci pentru funcție punctul este un pol dublu.

Exemplul 9. Arătați că funcția are o singularitate esențială la infinit.

Soluţie. O problemă similară este luată în considerare în Proiectul 7. Să considerăm comportamentul funcției în vecinătatea unui punct la infinit. Când de-a lungul părții pozitive a axei reale și când de-a lungul părții negative a axei reale. Aceasta înseamnă că nu există o limită a funcției într-un punct și, prin definiție, acest punct este în esență special.

Natura singularității unei funcții într-un punct poate fi judecată după parte principală extinderea Laurent în vecinătatea acestui punct.

Teorema 1. Pentru ca punctul să fie amovibil punct singular al funcției, este necesar și suficient ca expansiunea Laurent corespunzătoare nu conținea partea principală.

Sarcina 6. Folosind expansiunea Taylor a unei funcții într-o vecinătate a punctului , arătați că aceasta are o singularitate detașabilă la zero.

Teorema 2. Pentru ca punctul să fie pol funcţia este necesară şi suficientă astfel încât parte principală expansiunea Laurent corespunzătoare conţinea un număr finit de membri :

Numărul celui mai mare termen negativ determină ordinea polului.

În acest caz, funcția poate fi reprezentată ca

unde este o funcție analitică într-un punct, , este ordinea polului.

Exemplul 10. Arătați că funcția are poli simpli în puncte.

Soluţie. Să luăm în considerare ideea. Să folosim expansiunea Laurent a acestei funcții în vecinătatea acestui punct, obținută în Exemplul 2:

Deoarece în partea principală a acestei expansiuni cel mai înalt (și singurul) grad negativ este egal cu unu, atunci punctul este un simplu pol al acestei funcții.

Acest rezultat ar fi putut fi obținut în alt mod. Să o reprezentăm sub forma și să punem - aceasta este o funcție care este analitică la punctul și . Aceasta înseamnă că, în virtutea (8), în punctul această funcție are un pol simplu.

O altă modalitate: luați în considerare o funcție care are un zero simplu într-un punct. Aceasta înseamnă că în acest moment are un stâlp simplu.

În mod similar, dacă scriem funcția sub forma , unde este o funcție analitică în punctul și , atunci este imediat clar că punctul este un simplu pol al funcției .

Sarcina 7. Arătați că funcția are un pol de ordinul 2 în punct și un pol de ordinul 4 în punctul .

Teorema 3. Pentru ca punctul să fie semnificativ special punct al funcției, este necesar și suficient ca parte principală Extindere Laurent în vecinătatea punctului conţinea un număr infinit de membri .

Exemplul 11. Determinați natura singularității într-un punct al funcției

Soluţie.În binecunoscuta expansiune cosinus punem în loc de:

Aceasta înseamnă că expansiunea Laurent într-o vecinătate a unui punct are forma

Aici partea corectă este un termen. Și partea principală conține un număr infinit de termeni, deci punctul este în esență special.

Sarcina 8. Arătați că la un moment dat funcția are o singularitate esențială.

Să luăm în considerare o funcție și să scriem expansiunea ei Laurent în punctul:

Să facem o înlocuire, iar punctul merge la obiect. Acum, în vecinătatea unui punct la infinit avem

Rămâne să introducem o nouă denumire. Primim

unde este partea principală și este partea corectă a expansiunii Laurent a funcției în vecinătatea punctului de la infinit. Astfel, în expansiunea Laurent a unei funcții într-o vecinătate a unui punct, partea principală este o serie în puteri pozitive, iar partea corectă este o serie în puteri negative. Ținând cont de acest lucru, înlocuiți

Cu toate acestea, criteriile de mai sus pentru determinarea naturii unei singularități rămân valabile pentru un punct la infinit.

Exemplul 12. Aflați natura singularității funcției la punct. , atunci punctul se poate dovedi a fi neizolat.

Exemplul 15. Funcția într-un punct la infinit are o caracteristică esențială. Arătați că punctul pentru funcție nu este un punct singular izolat.

Soluţie. Funcția are un număr infinit de poli la zerourile numitorului, adică la punctele , . Deoarece , atunci punctul din orice vecinătate a căruia există poli este limita pentru poli.

Concepte de bază și definiții:

Zero al funcției analitice f(z) este punctul „a” pentru care f(a)=0.

Un zero de ordinul „n” al unei funcții f(z) este un punct „a” dacă fn(a)¹0.

Un punct singular „a” se numește punct singular izolat al unei funcții f(z) dacă există o vecinătate a acestui punct în care nu există alte puncte singulare decât „a”.

Există trei tipuri de puncte singulare izolate: .

1 puncte singulare detașabile;

3 puncte esențial singulare.

Tipul punctului singular poate fi determinat pe baza comportamentului unei funcții date la punctul singular găsit, precum și din forma seriei Laurent obținută pentru funcția din vecinătatea punctului singular găsit.

Determinarea tipului unui punct singular prin comportamentul funcției la acesta.

1. Puncte singulare detașabile.

Un punct singular izolat a al unei funcții f(z) se numește amovibil dacă există o limită finită.

2.Stalpi.

Un punct singular izolat a al unei funcții f(z) se numește pol dacă .

3. Puncte în esență singulare.

Un punct singular izolat a al unei funcții f(z) se numește punct esențial singular dacă nu există nici finit, nici infinit.

Următoarea relație există între zerourile și polii funcției.

Pentru ca punctul a să fie un pol de ordinul n al funcției f(Z), este necesar și suficient ca acest punct să fie un zero de ordinul n pentru funcția .

Dacă n=1 polul se numește simplu.

Definiţie: Un punct singular izolat de natură lipsită de ambiguitate se numește:

a) detașabil dacă lipsește partea principală a descompunerii;

b) un pol, dacă partea principală conține un număr finit de termeni;

c) un punct esenţial singular dacă partea principală conţine un număr infinit de termeni.

a) Astfel, în vecinătatea unui punct singular amovibil, expansiunea are forma:

exprimă funcția în toate punctele cercului |z-a|

La centrul z=a egalitatea nu este adevărată, deoarece funcția la z=a are o discontinuitate, iar partea dreaptă este continuă. Dacă se modifică valoarea funcției din centru, luând-o egală cu valoarea din dreapta, atunci decalajul va fi eliminat - de unde și numele - detașabil.

b) În vecinătatea unui pol de ordinul m, expansiunea seriei Laurent are forma:

c) În vecinătatea unui stâlp simplu

Deduceri și formule de calcul.

Reziduul unei funcții analitice f(z) la un punct singular izolat z 0 este un număr complex egal cu valoarea integralei , luată în direcția pozitivă de-a lungul cercului L cu centrul în punctul z 0 situat în domeniul analiticității funcției f(z) (adică în inelul 0<|z-z0|

Restul funcției f(z) la un punct singular izolat z 0 este notat cu simbolul Res f(z 0) sau Res (f(z); z 0). Astfel,

Res f(z 0)= . (22.15.1)

Dacă punem n=-1 în formula (22.15.1), obținem:

C -1 =

sau Res f(z 0)= C-1,

aceste. restul funcției f(z) față de punctul singular z 0 este egal cu coeficientul primului termen cu exponent negativ în expansiunea funcției f(z) din seria Laurent.

Calculul deducerilor.

Puncte singulare regulate sau amovibile. Evident, dacă z=z 0 este un punct singular regulat sau detașabil al funcției f(z), atunci Res f(z 0)=0 (expansiunea Laurent în aceste cazuri îi lipsește partea principală, deci c-1=0) .

Pol. Fie punctul z 0 un pol simplu al funcției f(z). Atunci seria Laurent pentru funcția f(z) în vecinătatea punctului z 0 are forma:

De aici

Prin urmare, trecând în această egalitate la limita la z --z 0, obținem

Res f(z0)=

Punct în esență special. Dacă punctul z 0 este un punct esențial singular al funcției f(z), atunci pentru a calcula reziduul funcției în acest punct, coeficientul c-1 în extinderea seriei Laurent a funcției este de obicei determinat direct.

Clasificarea evenimentelor. Suma, produsul evenimentelor, proprietățile acestora, reprezentarea grafică.

Evenimentele sunt împărțite în:

1. Aleatoriu

2. De încredere

3. Imposibil

Fiabil este un eveniment care are loc neapărat în condiții date (noaptea urmează dimineața).

Un eveniment aleatoriu este un eveniment care se poate întâmpla sau nu (procesarea unui examen).

Un eveniment imposibil este un eveniment care nu va avea loc în condiții date (scoaterea unui creion verde dintr-o cutie doar cu cele roșii).

Punct singular

în matematică.

1) Un punct singular al unei curbe definit de ecuația F ( x, y) = 0, - punctul M 0 ( x 0, y 0), în care ambele derivate parțiale ale funcției F ( x, y) merge la zero:

Dacă nu toate derivatele parțiale a doua ale funcției F ( x, y) în punctul M 0 sunt egale cu zero, atunci O. t se numește dublu. Dacă, împreună cu primele derivate care dispar în punctul M0, toate derivatele a doua, dar nu toate derivatele a treia, dispar, atunci ecuația se numește triplă etc. Când se studiază structura unei curbe în apropierea unui dublu O.t., semnul expresiei joacă un rol important

Dacă Δ > 0, atunci spațiul deschis se numește izolat; de exemplu, la curbă y 2 - x 4 + 4x 2= 0 originea coordonatelor este un O izolat (vezi. orez. 1 ). Dacă Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - a 4= 0 originea coordonatelor este nodul O. t. orez. 2 ). Dacă Δ = 0, atunci punctul general al curbei este fie izolat, fie este caracterizat prin faptul că diferite ramuri ale curbei au o tangentă comună în acest punct, de exemplu: a) punctul cusp de primul fel - diferite ramuri ale curbei. curba sunt situate pe laturile opuse ale tangentei comune și formează un punct, ca o curbă y 2 - x 3= 0 (vezi orez. 3 , a); b) punctul cuspid de al 2-lea fel - diferite ramuri ale curbei sunt situate pe o parte a tangentei comune, ca o curbă (y - x 2)2 - x 5= 0 (vezi orez. 3 , b); c) punct de auto-atingere (pentru o curbă y 2 - x 4= 0 originea este punctul de auto-atingere; (cm. orez. 3 , V). Alături de indicat O. t. sunt multe alte O. t. de exemplu, punctul asimptotic este vârful unei spirale cu un număr infinit de spire (vezi. orez. 4 ), punct de terminare, punct de colț etc.

2) Un punct singular al unei ecuații diferențiale este un punct în care atât numărătorul, cât și numitorul părții drepte a ecuației diferențiale dispar simultan (vezi. Ecuații diferențiale)

unde P și Q sunt funcții diferențiabile continuu. Presupunând O.t situat la origine și folosind formula lui Taylor (vezi. formula Taylor), putem reprezenta ecuația (1) sub forma

unde P 1 ( x, y) și Q 1 ( x, y) - infinitezimal cu privire la

Și anume, dacă λ 1 ≠ λ 2 și λ 1 λ 2 > 0 sau λ 1 = λ 2, atunci O. t este un nod; toate curbele integrale care trec prin puncte dintr-o vecinătate suficient de mică a unui nod intră în el. Dacă λ 1 ≠ λ 2 și λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 și β ≠ 0, atunci punctul general este un focar; toate curbele integrale care trec prin puncte într-o vecinătate suficient de mică a focarului reprezintă spirale cu un număr infinit de spire în orice vecinătate arbitrar mică a focarului. Dacă, în final, λ 1,2 = ± iβ, β ≠ 0, atunci caracterul O. t nu este determinat doar de termeni liniari în expansiunile lui P (. x, y) și Q ( x, y), așa cum a fost cazul în toate cauzele de mai sus; aici O. t poate fi un focar sau un centru, sau poate avea un caracter mai complex. În vecinătatea centrului, toate curbele integrale sunt închise și conțin centrul în interiorul lor. Deci, de exemplu, punctul (0, 0) este un nod pentru ecuații la" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; vezi orez. 5 , a) și y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; vezi orez. 5 , b), șa pentru ecuație y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; cm. orez. 6 ), focusul pentru ecuație y" =(x + y) / (x - y) (λ 1 = 1 - i, λ 2 = 1 + i; cm. orez. 7 ) și centrul ecuației y" = -x/y(λ 1 = -i, λ 2 = i; cm. orez. 8 ).

Dacă x, y) și Q ( x, y) analitic, o vecinătate de ordin superior O. t poate fi împărțită în regiuni: D 1 - umplute cu curbe integrale, ambele capete incluse în O. t (regiuni eliptice), D 2 - umplute cu curbe integrale, un capăt inclus în O. t (regiuni parabolice) și D 3 - regiuni delimitate de două curbe integrale incluse în teoria generală, între care sunt situate curbe integrale de tip hiperbolă (regiuni hiperbolice) (vezi. orez. 9 ). Dacă nu există curbe integrale incluse într-un orbital t., atunci orbitalul t se numește punct de tip stabil. O vecinătate a unui oscilator stabil constă din curbe integrale închise care conțin o osmoză în sine, între care există spirale (vezi Fig. orez. 10 ).

Studiul ecuațiilor diferențiale, adică, în esență, studiul comportamentului familiilor de curbe integrale în vecinătatea ecuațiilor diferențiale, constituie una dintre ramurile teoriei calitative a ecuațiilor diferențiale și joacă un rol important în aplicații, în special în întrebări. a stabilității mișcării (lucrarea lui A. M. Liapunov a, A. Poincare etc.).

3) Un punct singular al unei funcții analitice cu o singură valoare este un punct în care analiticitatea funcției este încălcată (vezi. Funcții analitice). Dacă există un cartier al lui O. t. o, liber de alte O. t., apoi punct O numit izolat O. t O- o ordine generală izolată și există un a finit se numește o formă generală detașabilă prin modificarea adecvată a definiției unei funcții într-un punct a (sau redefinirea acesteia în acest punct, dacă funcția la acesta nu este deloc definită). şi anume prin asumarea f(o)= b, este posibil să se realizeze asta o va deveni un punct obișnuit al funcției corectate. De exemplu, punct z= 0 este un O.t amovibil pentru funcția f 1 ( z) = f(z), Dacă z≠ 0 și f 1 (0), = 1, punct z= 0 este un punct obișnuit [ f 1 (z) este analitic la punct z= 0]. Dacă O- un O. t izolat și a se numește un pol sau un punct neesențial singular al unei funcții f(z), dacă funcționează seria Laurent). f(z) în vecinătatea unui O. t. nu conţine puteri negative z - a, Dacă O- detașabil O. t., conține un număr finit de grade negative z - a, Dacă O- stâlp (în acest caz ordinea stâlpului r este definit ca gradul cel mai înalt de a - un punct esențial special. De exemplu, pentru funcție

p = 2, 3, …)

punct z= 0 este polul ordinii r, pentru funcție

punct z= 0 este un punct esențial singular.

La limita cercului de convergență al unei serii de puteri trebuie să existe cel puțin un DP al funcției reprezentate în cadrul acestui cerc de seria de puteri dată. Toate punctele limită ale domeniului existenței unei funcții analitice unice (limită naturală) sunt granițele acestei funcții. Astfel, toate punctele cercului unitar | z| = 1 sunt speciale pentru funcție

Pentru o funcție analitică cu mai multe valori, conceptul de „O. T." mai dificil. Pe lângă O. t., în foile individuale ale suprafeței Riemann ale unei funcții (adică O. t. a elementelor analitice cu o singură valoare), fiecare punct de ramificare este și O. t. Punctele de ramificație izolate ale unei suprafețe Riemann (adică astfel de puncte de ramificație încât în ​​vreo vecinătate a acestora nu există alte funcții O. t. în nicio frunză) sunt clasificate după cum urmează. Dacă a este un punct de ramură izolat de ordin finit și există un a finit, se numește pol critic. Dacă O- un punct de ramură izolat de ordine infinită și a se numește O.t transcendental Toate celelalte puncte de ramură izolate sunt numite puncte critice esențial singulare. Exemple: punct z= 0 este punctul critic obișnuit al funcției f ( z) = jurnal zși punctul critic esențial singular al funcției f (z) = sin ln z.

Fiecare teorie generală, cu excepția uneia detașabile, este un obstacol în calea continuării analitice, adică continuarea analitică de-a lungul unei curbe care trece printr-o problemă generală ireductibilă este imposibilă.

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Vedeți ce este un „punct singular” în alte dicționare:

Puncte aici. Vezi și punct singular (ecuații diferențiale). O caracteristică sau singularitate în matematică este un punct în care un obiect matematic (de obicei o funcție) este nedefinit sau are un comportament neregulat (de exemplu, un punct în care ... ... Wikipedia

O funcție analitică este un punct în care condițiile de analiticitate sunt încălcate. Dacă funcția analitică f(z) este dată într-o anumită vecinătate a punctului z0 peste tot... Enciclopedie fizică

O funcție analitică este punctul în care analiticitatea funcției este încălcată... Dicţionar enciclopedic mare

punct singular- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Dicționar englez-rus de inginerie electrică și inginerie energetică, Moscova, 1999] Subiecte de inginerie electrică, concepte de bază EN punct singular ... Ghidul tehnic al traducătorului

1) O funcție analitică f(z) este un obstacol în calea continuării analitice a unui element al unei funcții f(z) a unei variabile complexe z de-a lungul unei căi pe planul acestei variabile. Fie ca funcția analitică f(z) să fie definită de niște... ... Enciclopedie matematică

Funcția analitică, punctul în care analiticitatea funcției este încălcată. * * * PUNCT UNIC PUNCT UNIC al unei funcții analitice, punctul în care este încălcată analiticitatea funcției... Dicţionar Enciclopedic

punct singular- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. punct singular vok. singulärer Punkt, m rus. punct singular, f pranc. point particulier, m; point singulier, m … Automatikos terminų žodynas