După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b *a c = a b+c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel cu exponenți întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot unde trebuie să simplificați înmulțirea greoaie prin simplă adunare. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Într-un limbaj simplu și accesibil.

Definiție în matematică

Un logaritm este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” la baza sa „a” este considerat a fi puterea „c ” la care trebuie ridicată baza „a” pentru a obține în final valoarea „b”. Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești o putere astfel încât de la 2 la puterea necesară să obții 8. După ce faci niște calcule în capul tău, obținem numărul 3! Și asta este adevărat, pentru că 2 la puterea lui 3 dă răspunsul ca 8.

Tipuri de logaritmi

Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar de fapt logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Sunt trei specii individuale expresii logaritmice:

1. Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
2. Decimală a, unde baza este 10.
3. Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un singur logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, ar trebui să vă amintiți proprietățile acestora și succesiunea acțiunilor atunci când le rezolvați.

Reguli și unele restricții

În matematică, există mai multe reguli-constrângeri care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărul. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți rădăcina pare a numerelor negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, în urma cărora puteți învăța cu ușurință să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:

• Baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și nu egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
• dacă a > 0, atunci a b >0, se dovedește că și „c” trebuie să fie mai mare decât zero.

Cum se rezolvă logaritmii?

De exemplu, sarcina este de a găsi răspunsul la ecuația 10 x = 100. Acest lucru este foarte ușor, trebuie să alegeți o putere prin ridicarea numărului zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10 2 = 100.

Acum să reprezentăm această expresie în formă logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile practic converg pentru a găsi puterea la care este necesar să se introducă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.

Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să învățați cum să lucrați cu un tabel de grade. Arata cam asa:

După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o minte tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, pentru valori mai mari veți avea nevoie de o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu știu nimic despre subiecte matematice complexe. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c la care este ridicat numărul a. La intersecție, celulele conțin valorile numerice care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!

Ecuații și inegalități

Rezultă că în anumite condiții exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o egalitate logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul de bază 3 al lui 81 egal cu patru (log 3 81 = 4). Pentru puteri negative regulile sunt aceleași: 2 -5 = 1/32 îl scriem ca logaritm, obținem log 2 (1/32) = -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom privi mai jos exemple și soluții de ecuații, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să vedem cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.

Se dă o expresie de următoarea formă: log 2 (x-1) > 3 - este o inegalitate logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmic. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit la baza doi este mai mare decât numărul trei.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul 2 x = √9) implică una sau mai multe valori numerice specifice în răspuns, în timp ce la rezolvarea unei inegalități, atât domeniul acceptabil. valorile și punctele sunt determinate întrerupând această funcție. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul la o ecuație, ci o serie continuă sau un set de numere.

Teoreme de bază despre logaritmi

La rezolvarea sarcinilor primitive de găsire a valorilor logaritmului, este posibil ca proprietățile acestuia să nu fie cunoscute. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom uita la exemple de ecuații mai târziu, să ne uităm mai întâi la fiecare proprietate în detaliu.

1. Identitatea principală arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai atunci când a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
2. Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția obligatorie este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o dovadă pentru această formulă logaritmică, cu exemple și soluție. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2, apoi a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obținem că s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietățile lui grade ), și apoi prin definiție: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, care este ceea ce trebuia demonstrat.
3. Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.

Această formulă se numește „proprietatea gradului de logaritm”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate naturale. Să ne uităm la dovada.

Fie log a b = t, rezultă a t =b. Dacă ridicăm ambele părți la puterea m: a tn = b n ;

dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n, deci log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema este demonstrată.

Exemple de probleme și inegalități

Cele mai comune tipuri de probleme pe logaritmi sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt, de asemenea, o parte obligatorie a examenelor de matematică. Pentru a intra la universitate sau pentru a trece examenele de admitere la matematică, trebuie să știi cum să rezolvi corect astfel de sarcini.

Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, dar anumite reguli pot fi aplicate fiecărei inegalități matematice sau ecuații logaritmice. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau redusă la o formă generală. Puteți simplifica expresiile logaritmice lungi dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem repede.

Când rezolvăm ecuații logaritmice, trebuie să stabilim ce tip de logaritm avem: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.

Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determine puterea la care baza 10 va fi egală cu 100, respectiv 1026. Pentru a rezolva logaritmii naturali, trebuie să aplicați identități logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.

Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții

Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor de bază despre logaritmi.

1. Proprietatea logaritmului unui produs poate fi utilizată în sarcini în care este necesară descompunerea unei valori mari a numărului b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum puteți vedea, folosind a patra proprietate a puterii logaritmului, am reușit să rezolvăm o expresie aparent complexă și de nerezolvat. Trebuie doar să factorizați baza și apoi să scoateți valorile exponentului din semnul logaritmului.

Teme de la examenul de stat unificat

Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special multe probleme logaritmice în examenul de stat unificat ( examen de stat pentru toți absolvenții școlii). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte a testului a examenului), ci și în partea C (cele mai complexe și mai voluminoase sarcini). Examenul necesită cunoașterea exactă și perfectă a subiectului „Logaritmi naturali”.

Exemplele și soluțiile la probleme sunt preluate din oficial Opțiuni pentru examenul de stat unificat. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2, prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4, deci 2x = 17; x = 8,5.

• Cel mai bine este să reduceți toți logaritmii la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
• Toate expresiile de sub semnul logaritmului sunt indicate ca pozitive, prin urmare, atunci când exponentul unei expresii care se află sub semnul logaritmului și ca bază a acesteia este scos ca multiplicator, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea organismelor guvernamentale din Federația Rusă - să dezvăluie informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

În acest tutorial video ne vom uita la rezolvarea unei ecuații logaritmice destul de serioase, în care nu trebuie doar să găsiți rădăcinile, ci și să le selectați pe cele care se află pe un anumit segment.

Problema C1. Rezolvați ecuația. Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului.

O notă despre ecuațiile logaritmice

Cu toate acestea, din an în an vin la mine studenți care încearcă să rezolve astfel de lucruri, sincer, ecuații dificile, dar în același timp nu pot înțelege: de unde ar trebui să înceapă și cum să abordeze logaritmii? Această problemă poate apărea chiar și în rândul studenților puternici și bine pregătiți.

Drept urmare, mulți încep să se teamă de acest subiect sau chiar se consideră proști. Deci, amintiți-vă: dacă nu puteți rezolva o astfel de ecuație, asta nu înseamnă deloc că ești prost. Pentru că, de exemplu, puteți gestiona această ecuație aproape verbal:

log 2 x = 4

Și dacă nu este așa, nu ai mai citi acest text acum, pentru că erai ocupat cu sarcini mai simple și mai banale. Desigur, cineva va obiecta acum: „Ce legătură are această ecuație cea mai simplă cu structura noastră sănătoasă?” Răspund: orice ecuație logaritmică, oricât de complexă ar fi, se reduce în cele din urmă la aceste structuri simple care pot fi rezolvate oral.

Desigur, trebuie să trecem de la ecuații logaritmice complexe la cele mai simple nu prin selecție sau dans cu o tamburină, ci după reguli clare, definite de lungă durată, care se numesc - reguli de conversie a expresiilor logaritmice. Cunoscându-le, puteți face față cu ușurință chiar și celor mai sofisticate ecuații din examenul de stat unificat la matematică.

Și despre aceste reguli vom vorbi în lecția de astăzi. Să mergem!

Rezolvarea ecuației logaritmice din problema C1

Deci, rezolvăm ecuația:

În primul rând, când vine vorba de ecuații logaritmice, ne amintim tactica de bază - ca să spunem așa, regula de bază pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Se compune din următoarele:

Teorema formei canonice. Orice ecuație logaritmică, indiferent ce include, indiferent ce logaritmi, indiferent de ce bază și indiferent de ce conține, trebuie neapărat redusă la o ecuație de forma:

log a f (x) = log a g (x)

Dacă ne uităm la ecuația noastră, observăm imediat două probleme:

1. În stânga avem suma a doua numere, dintre care unul nu este deloc un logaritm.
2. În dreapta este destul de un logaritm, dar la baza lui există o rădăcină. Și logaritmul din stânga este pur și simplu 2, adică. Bazele logaritmilor din stânga și din dreapta sunt diferite.

Deci, am compilat această listă de probleme care separă ecuația noastră de aceasta ecuație canonică, la care orice ecuație logaritmică trebuie redusă în timpul procesului de rezolvare. Astfel, rezolvarea ecuației noastre în această etapă se rezumă la eliminarea celor două probleme descrise mai sus.

Orice ecuație logaritmică poate fi rezolvată rapid și ușor dacă o reduceți la forma sa canonică.

Suma logaritmilor și logaritmul produsului

Să procedăm în ordine. Mai întâi, să ne uităm la structura din stânga. Ce putem spune despre suma a doi logaritmi? Să ne amintim de formula minunată:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Dar merită să luăm în considerare că în cazul nostru primul termen nu este deloc un logaritm. Aceasta înseamnă că trebuie să reprezentăm unitatea ca un logaritm la baza 2 (mai exact 2, deoarece logaritmul la baza 2 este în stânga). Cum să faci asta? Să ne amintim din nou formula minunată:

a = log b b a

Aici trebuie să înțelegeți: când spunem „Orice bază b”, vrem să spunem că b tot nu poate fi un număr arbitrar. Dacă introducem un număr într-un logaritm, sigur restricții, și anume: baza logaritmului trebuie să fie mai mare decât 0 și nu trebuie să fie egală cu 1. În caz contrar, logaritmul pur și simplu nu are sens. Să scriem asta:

0 < b ≠ 1

Să vedem ce se întâmplă în cazul nostru:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Acum să ne rescriem întreaga ecuație ținând cont de acest fapt. Și aplicăm imediat o altă regulă: suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului argumentelor. Ca rezultat obținem:

Avem o nouă ecuație. După cum vedem, este deja mult mai aproape de ecuația canonică pentru care ne străduim. Dar există o problemă, am scris-o ca al doilea punct: logaritmii noștri, care sunt în stânga și în dreapta, diferite motive . Să trecem la pasul următor.

Reguli pentru scăderea puterilor din logaritm

Deci, logaritmul din stânga are o bază de doar 2, iar logaritmul din dreapta are o rădăcină la bază. Dar aceasta nu este o problemă dacă ne amintim că bazele argumentelor logaritmului pot fi ridicate la puteri. Să notăm una dintre aceste reguli:

log a b n = n log a b

Tradus în limbajul uman: puteți scoate puterea de la baza logaritmului și o puteți pune în față ca multiplicator. Numărul n „a migrat” de la logaritm spre exterior și a devenit un coeficient în față.

Putem deriva la fel de ușor puterea de la baza logaritmului. Va arăta astfel:

Cu alte cuvinte, dacă eliminați gradul din argumentul logaritmului, acest grad se scrie și ca factor înaintea logaritmului, dar nu ca număr, ci ca număr reciproc 1/k.

Cu toate acestea, asta nu este tot! Putem combina aceste două formule și găsim următoarea formulă:

Când o putere apare atât în ​​baza, cât și în argumentul unui logaritm, putem economisi timp și simplifica calculele prin eliminarea imediată a puterilor atât din bază, cât și din argument. În acest caz, ceea ce a fost în argument (în cazul nostru, acesta este coeficientul n) va apărea în numărător. Și care a fost gradul de la bază, un k, va merge la numitor.

Și aceste formule le vom folosi acum pentru a ne reduce logaritmii la aceeași bază.

În primul rând, să alegem o bază mai mult sau mai puțin frumoasă. Evident, este mult mai plăcut să lucrezi cu un doi la bază decât cu o rădăcină. Deci, să încercăm să reducem al doilea logaritm la baza 2. Să scriem separat acest logaritm:

Ce putem face aici? Să ne amintim formula puterii cu un exponent rațional. Cu alte cuvinte, putem scrie rădăcinile ca o putere cu un exponent rațional. Și apoi luăm puterea lui 1/2 atât din argument, cât și din baza logaritmului. Reducem doi în coeficienții din numărător și numitor în fața logaritmului:

În cele din urmă, să rescriem ecuația inițială ținând cont de noii coeficienți:

log 2 2(9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

Am obținut ecuația logaritmică canonică. Atât în ​​stânga cât și în dreapta avem un logaritm la aceeași bază 2. În afară de acești logaritmi, nu există coeficienți, nici termeni nici în stânga, nici în dreapta.

În consecință, putem scăpa de semnul logaritmului. Desigur, ținând cont de domeniul definiției. Dar înainte de a face asta, să ne întoarcem și să facem o mică clarificare despre fracții.

Împărțirea unei fracții la o fracție: considerații suplimentare

Nu toți elevii înțeleg de unde provin factorii din fața logaritmului potrivit și unde merg. Să o scriem din nou:

Să ne dăm seama ce este o fracție. Hai sa scriem:

Acum să ne amintim de regula împărțirii fracțiilor: pentru a împărți la 1/2, trebuie să înmulțiți cu fracția inversată:

Desigur, pentru comoditatea calculelor ulterioare, putem scrie două ca 2/1 - și aceasta este ceea ce observăm ca al doilea coeficient în procesul de soluție.

Sper că acum toată lumea înțelege de unde vine al doilea coeficient, așa că să trecem direct la rezolvarea ecuației noastre logaritmice canonice.

A scăpa de semnul logaritmului

Permiteți-mi să vă reamintesc că acum putem scăpa de logaritmi și lăsăm următoarea expresie:

2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

Să deschidem parantezele din stânga. Primim:

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

Să mutăm totul din partea stângă la dreapta:

8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0

Să aducem altele asemănătoare și să obținem:

8x 4 − 18x 2 + 4 = 0

Putem împărți ambele părți ale acestei ecuații la 2 pentru a simplifica coeficienții și obținem:

4x 4 − 9x 2 + 2 = 0

În fața noastră este obișnuit ecuație biquadratică, iar rădăcinile sale sunt ușor de calculat prin discriminant. Deci, să notăm discriminantul:

D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49

Grozav, discriminantul este „frumos”, rădăcina lui este 7. Gata, să numărăm X-urile noi înșine. Dar în în acest caz, rădăcinile nu vor fi x, ci x 2, deoarece avem o ecuație biquadratică. Deci, opțiunile noastre:

Vă rugăm să rețineți: am extras rădăcinile, deci vor fi două răspunsuri, pentru că... pătrat - chiar funcția. Și dacă scriem doar rădăcina a doi, atunci pur și simplu vom pierde a doua rădăcină.

Acum scriem a doua rădăcină a ecuației noastre biquadratice:

Din nou, luăm rădăcina pătrată aritmetică a ambelor părți ale ecuației noastre și obținem două rădăcini. Cu toate acestea, amintiți-vă:

Nu este suficient să echivalăm pur și simplu argumentele logaritmilor în formă canonică. Amintiți-vă domeniul definiției!

În total, avem patru rădăcini. Toate sunt într-adevăr soluții la ecuația noastră originală. Aruncă o privire: în ecuația noastră logaritmică inițială, logaritmii din interior sunt fie 9x 2 + 5 (această funcție este întotdeauna pozitivă) fie 8x 4 + 14 - care este, de asemenea, întotdeauna pozitiv. Prin urmare, domeniul de definire al logaritmilor este satisfăcut în orice caz, indiferent de ce rădăcină obținem, ceea ce înseamnă că toate cele patru rădăcini sunt soluții ale ecuației noastre.

Grozav, acum să trecem la a doua parte a problemei.

Selectarea rădăcinilor unei ecuații logaritmice pe un segment

Din cele patru rădăcini ale noastre le selectăm pe cele care se află pe segmentul [−1; 8/9]. Ne întoarcem la rădăcinile noastre, iar acum vom efectua selecția lor. Pentru început, vă sugerez să desenați o axă de coordonate și să marcați capetele segmentului pe ea:

Ambele puncte vor fi umbrite. Aceste. În funcție de condițiile problemei, ne interesează segmentul umbrit. Acum să ne uităm la rădăcini.

Rădăcini iraționale

Să începem cu rădăcinile iraționale. Rețineți că 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

De aici rezultă că rădăcina lui doi nu se încadrează în segmentul care ne interesează. În mod similar, vom obține cu o rădăcină negativă: este mai mică decât −1, adică se află în stânga segmentului care ne interesează.

Rădăcini raționale

Au mai rămas două rădăcini: x = 1/2 și x = −1/2. Să observăm că capătul din stânga segmentului (−1) este negativ, iar capătul din dreapta (8/9) este pozitiv. Prin urmare, undeva între aceste capete se află numărul 0. Rădăcina x = −1/2 va fi între −1 și 0, adică. va ajunge în răspunsul final. Facem același lucru cu rădăcina x = 1/2. Această rădăcină se află și pe segmentul luat în considerare.

Vă puteți asigura că 8/9 este mai mare decât 1/2. Să scădem aceste numere unul de la celălalt:

Am obținut fracția 7/18 > 0, ceea ce prin definiție înseamnă că 8/9 > 1/2.

Să marchem rădăcinile corespunzătoare pe axa de coordonate:

Răspunsul final va fi două rădăcini: 1/2 și −1/2.

Comparația numerelor iraționale: un algoritm universal

În concluzie, aș dori să revin încă o dată la numerele iraționale. Folosind exemplul lor, vom analiza acum cum să comparăm cantitățile raționale și iraționale în matematică. Pentru început, există o astfel de bifă între ele V - un semn „mai mult” sau „mai puțin”, dar încă nu știm în ce direcție este îndreptat. Hai sa scriem:

De ce avem nevoie de algoritmi de comparație? Faptul este că în această problemă am fost foarte norocoși: în procesul de rezolvare a divizării a apărut numărul 1, despre care putem spune cu siguranță:

Cu toate acestea, nu veți vedea întotdeauna un astfel de număr imediat. Deci, să încercăm să ne comparăm cifrele direct, direct.

Cum se face asta? Facem la fel ca și cu inegalitățile obișnuite:

1. În primul rând, dacă am avea coeficienți negativi undeva, am înmulți ambele părți ale inegalității cu −1. Desigur schimbarea semnului. Această bifă V s-ar schimba în aceasta - Λ.
2. Dar în cazul nostru, ambele părți sunt deja pozitive, așa că nu este nevoie să schimbăm nimic. Ceea ce este cu adevărat necesar este pătrat ambele laturi pentru a scăpa de radical.

Dacă, atunci când comparăm numere iraționale, nu este posibil să selectați imediat elementul de separare, vă recomand să efectuați o astfel de comparație „în față” - descriindu-l ca o inegalitate obișnuită.

Când se rezolvă, se formalizează astfel:

Acum totul este ușor de comparat. Ideea este că 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

Gata, am primit dovada strictă că toate numerele sunt marcate pe linia numerică x corect și exact în ordinea în care ar trebui să fie de fapt. Nimeni nu va găsi de vină în această soluție, așa că nu uitați: dacă nu vedeți imediat numărul de împărțire (în cazul nostru este 1), atunci nu ezitați să scrieți construcția de mai sus, să înmulțiți, să o pătrați - și la final veți obține o inegalitate frumoasă. Din această inegalitate va fi clar care număr este mai mare și care este mai mic.

Revenind la problema noastră, aș dori să vă atrag din nou atenția asupra a ceea ce am făcut chiar la început când ne-am rezolvat ecuația. Și anume: ne-am uitat atent la ecuația noastră logaritmică inițială și am încercat să o reducem la canonic ecuație logaritmică. Unde sunt doar logaritmi la stânga și la dreapta - fără termeni suplimentari, coeficienți în față etc. Nu avem nevoie de doi logaritmi bazați pe a sau b, ci un logaritm egal cu un alt logaritm.

În plus, bazele logaritmilor trebuie să fie și ele egale. Mai mult, dacă ecuația este alcătuită corect, atunci cu ajutorul transformărilor logaritmice elementare (suma de logaritmi, transformarea unui număr în logaritm etc.) vom reduce această ecuație la cea canonică.

Prin urmare, de acum înainte, când vedeți o ecuație logaritmică care nu poate fi rezolvată imediat, nu ar trebui să vă pierdeți sau să încercați să aflați răspunsul. Tot ce trebuie să faceți este să urmați acești pași:

1. Convertiți toate elementele libere într-un logaritm;
2. Apoi adăugați acești logaritmi;
3. În construcția rezultată, reduceți toți logaritmii la aceeași bază.

Ca rezultat, veți obține o ecuație simplă care poate fi rezolvată folosind instrumente de algebră elementară din materialele de clasa 8-9. În general, mergi pe site-ul meu, exersează rezolvarea logaritmilor, rezolvă ecuații logaritmice ca mine, rezolvă-le mai bine decât mine. Și asta e tot pentru mine. Pavel Berdov a fost cu tine. Ne vedem din nou!

Ecuații logaritmice. Continuăm să luăm în considerare problemele din partea B a examenului unificat de stat la matematică. Am examinat deja soluțiile unor ecuații din articolele „”, „”. În acest articol ne vom uita la ecuațiile logaritmice. Voi spune imediat că nu vor exista transformări complexe la rezolvarea unor astfel de ecuații la examenul de stat unificat. Sunt simple.

Este suficient să cunoaștem și să înțelegem identitatea logaritmică de bază, să cunoaștem proprietățile logaritmului. Vă rugăm să rețineți că, după ce o rezolvați, TREBUIE să faceți o verificare - înlocuiți valoarea rezultată în ecuația originală și calculați, în final ar trebui să obțineți egalitatea corectă.

Definiţie:

Logaritmul unui număr la baza b este exponentul,la care trebuie ridicat b pentru a obține a.

De exemplu:

Log 3 9 = 2, deoarece 3 2 = 9

Proprietățile logaritmilor:

Cazuri speciale de logaritmi:

Să rezolvăm problemele. În primul exemplu vom face o verificare. Faceți singur verificarea ulterioară.

Aflați rădăcina ecuației: log 3 (4–x) = 4

Deoarece log b a = x b x = a, atunci

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Examinare:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Corect.

Răspuns: – 77

Decideți singuri:

Aflați rădăcina ecuației: log 2 (4 – x) = 7

Găsiți rădăcina ecuației log 5(4 + x) = 2

Folosim identitatea logaritmică de bază.

Deoarece log a b = x b x = a, atunci

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Examinare:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Corect.

Raspuns: 21

Aflați rădăcina ecuației log 3 (14 – x) = log 3 5.

Are loc următoarea proprietate, sensul ei este următorul: dacă în stânga și dreapta ecuației avem logaritmi cu aceeași bază, atunci putem echivala expresiile sub semnele logaritmilor.

14 – x = 5

x=9

Faceți o verificare.

Raspuns: 9

Decideți singuri:

Aflați rădăcina ecuației log 5 (5 – x) = log 5 3.

Aflați rădăcina ecuației: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Dacă log c a = log c b, atunci a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Faceți o verificare.

Raspuns: 6

Aflați rădăcina ecuației log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Faceți o verificare.

Un mic plus - proprietatea este folosită aici

grade ().

Răspuns: – 51

Decideți singuri:

Aflați rădăcina ecuației: log 1/7 (7 – x) = – 2

Aflați rădăcina ecuației log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Să transformăm partea dreaptă. Să folosim proprietatea:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Dacă log c a = log c b, atunci a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Faceți o verificare.

Răspuns: - 21

Decideți singuri:

Aflați rădăcina ecuației: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Rezolvați ecuația log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Dacă log c a = log c b, atunci a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Faceți o verificare.

Răspuns: 2,75

Decideți singuri:

Aflați rădăcina ecuației log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Rezolvați ecuația log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Este necesar să se obțină o expresie a formei din partea dreaptă a ecuației:

jurnalul 2 (......)

Reprezentăm 1 ca logaritm de bază 2:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Primim:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Dacă log c a = log c b, atunci a = b, atunci

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Faceți o verificare.

Răspuns: 0,4

Decideți singuri: În continuare trebuie să rezolvați ecuația pătratică. Apropo,

rădăcinile sunt 6 și – 4.

Rădăcină „–4" nu este o soluție, deoarece baza logaritmului trebuie să fie mai mare decât zero și cu "– 4" este egal cu " – 5". Soluția este rădăcina 6.Faceți o verificare.

Raspuns: 6.

R mananca pe cont propriu:

Rezolvați ecuația log x –5 49 = 2. Dacă ecuația are mai multe rădăcini, răspundeți cu cea mai mică.

După cum ați văzut, fără transformări complicate cu ecuații logaritmiceNu. Este suficient să cunoști proprietățile logaritmului și să le poți aplica. În problemele de USE legate de transformarea expresiilor logaritmice se realizează transformări mai serioase și sunt necesare abilități mai aprofundate în rezolvare. Vom privi astfel de exemple, nu le ratați!Succes tie!!!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.