Matematică 1. De unde provine cuvântul matematică 2. Cine a inventat matematica? 3. Subiecte principale. 4. Definiție 5. Etimologie Până la ultimul slide.

De unde provine cuvântul (mergi la slide-ul precedent) Matematică din greacă - studiu, știință) - știința structurilor, ordinii și relațiilor, dezvoltată istoric pe baza operațiilor de numărare, măsurare și descriere a formei obiectelor. Obiectele matematice sunt create prin idealizarea proprietăților obiectelor reale sau a altor obiecte matematice și prin scrierea acestor proprietăți într-un limbaj formal.

Cine a inventat matematica (mergi la meniu) Primul matematician se numește de obicei Thales din Milet, care a trăit în secolul al VI-lea. î.Hr e. , unul dintre așa-numiții șapte înțelepți ai Greciei. Oricum ar fi, el a fost primul care a structurat întreaga bază de cunoștințe pe acest subiect, care se formase de mult în lumea cunoscută de el. Totuși, autorul primului tratat de matematică care a ajuns la noi a fost Euclid (secolul al III-lea î.Hr.). De asemenea, el poate fi considerat pe bună dreptate părintele acestei științe.

Subiecte principale (mergi la meniu) Domeniul matematicii include doar acele științe în care se ia în considerare fie ordinea, fie măsura și nu este deloc important dacă acestea sunt numere, cifre, stele, sunete sau orice altceva în care se găsește această măsură . Astfel, trebuie să existe un fel de știință generală care să explice tot ce ține de ordine și măsură, fără a intra în studiul unor subiecte anume, iar această știință ar trebui numită nu străină, ci vechea denumire de Matematică Universală, care a venit deja. în uz.

Definiție (mergi la meniu) Analiza modernă se bazează pe analiza matematică clasică, care este considerată una dintre cele trei domenii principale ale matematicii (împreună cu algebra și geometria). În același timp, termenul de „analiza matematică” în sensul clasic este folosit mai ales în programele și materialele educaționale. În tradiția anglo-americană, analiza matematică clasică corespunde unor programe de curs numite „calcul”

Etimologie (mergi la meniu) Cuvântul „matematică” provine din greaca veche. , care înseamnă studiu, cunoaștere, știință etc. -Greacă, însemnând inițial receptiv, reușit, mai târziu legat de studiu, ulterior legat de matematică. Mai exact, în latină înseamnă arta matematicii. Termenul este greacă veche. V sens modern al acestui cuvânt „matematică” se găsește deja în lucrările lui Aristotel (secolul IV î.Hr. În textele în limba rusă, cuvântul „matematică” sau „matematică” a fost găsit cel puțin din secolul al XVII-lea, de exemplu, la Nikolai Spafariy). în „Cartea selectată pe scurt despre cele nouă muze și cele șapte arte libere” (1672)

Știința care studiază cantitățile, relațiile cantitative și formele spațiale

Prima literă este „m”

A doua litera „a”

A treia literă „t”

Ultima literă a scrisorii este „a”

Răspuns la întrebarea „Știința care studiază cantitățile, relațiile cantitative și formele spațiale”, 10 litere:
matematică

Întrebări alternative pentru cuvinte încrucișate pentru cuvântul matematică

Un reprezentant al acestei științe a luat logodnica lui Nobel și, prin urmare, Premiul Nobel nu este acordat pentru succes în ea

„Învățământ superior” în programul Politehnică

Știință exactă care studiază cantitățile, relațiile cantitative și formele spațiale

Știința cantităților, a relațiilor cantitative, a formelor spațiale

Această materie a fost predată la școală de „draga Elena Sergeevna” interpretată de Marina Neelova

Definiția cuvântului matematică în dicționare

Dicţionar mare limbă rusă vie, Dal Vladimir Semnificația cuvântului în dicționar Dicționar explicativ al Marii Limbi Ruse Vie, Dal Vladimir
şi. știința mărimilor și cantităților; tot ceea ce poate fi exprimat prin numere aparține matematicii. - pur, se ocupă de cantități în mod abstract; - aplicat, se aplică primul cazului, obiectelor. Matematica este împărțită în aritmetică și geometrie, prima are...

Wikipedia Înțelesul cuvântului în dicționarul Wikipedia
matematica (

Marea Enciclopedie Sovietică Semnificația cuvântului în dicționar Marea Enciclopedie Sovietică
I. Definirea disciplinei matematica, legatura cu alte stiinte si tehnologie. Matematica (greacă mathematike, de la máthema ≈ cunoaștere, știință), știința relațiilor cantitative și a formelor spațiale ale lumii reale. „Matematica pură are ca obiect...

Noul dicționar explicativ al limbii ruse, T. F. Efremova. Semnificația cuvântului în dicționar Noul dicționar explicativ al limbii ruse, T. F. Efremova.
şi. Disciplina științifică despre formele spațiale și relațiile cantitative ale lumii reale. O materie academică care conține fundamentele teoretice ale unei discipline științifice date. descompunere Un manual care stabilește conținutul unei anumite discipline academice. trans. descompunere Acurat,...

Exemple de utilizare a cuvântului matematică în literatură.

La început, Trediakovsky a fost adăpostit de Vasily Adadurov - matematician, elev al marelui Jacob Bernoulli, iar pentru acest adăpost poetul l-a predat pe om de știință în limba franceză.

Intrat matematician Adadurov, mecanicul Ladyzhensky, arhitectul Ivan Blank, evaluatori de la diverse consilii, medici și grădinari, ofițeri de armată și marină au trecut.

Doi oameni stăteau în fotolii la o masă lungă de nuc lustruit: Aksel Brigov și matematician Brodsky, pe care l-am recunoscut după puternicul său chel socratic.

Pontryagin, prin ale cărui eforturi a fost creată o nouă secțiune matematicienii- algebră topologică, - studierea diferitelor structuri algebrice dotate cu topologie.

Să remarcăm, de asemenea, în treacăt, că epoca pe care o descriem a fost martora dezvoltării algebrei, un departament relativ abstract matematicienii, prin combinarea departamentelor sale mai puțin abstracte, geometria și aritmetica, este un fapt dovedit de cele mai străvechi manifestări ale algebrei care au ajuns la noi, jumătate algebrică, jumătate geometrică.

Proprietățile idealizate ale obiectelor studiate sunt fie formulate sub formă de axiome, fie enumerate în definiția obiectelor matematice corespunzătoare. Apoi, conform regulilor stricte de inferență logică, din aceste proprietăți sunt deduse și alte proprietăți adevărate (teoreme). Această teorie formează împreună un model matematic al obiectului studiat. Astfel, inițial pornind de la relații spațiale și cantitative, matematica primește relații mai abstracte, al căror studiu este și subiectul matematicii moderne.

În mod tradițional, matematica este împărțită în teoretică, care realizează o analiză aprofundată a structurilor intra-matematice, și aplicată, care oferă modelele sale altor științe și discipline de inginerie, dintre care unele ocupă o poziție la granița cu matematica. În special, logica formală poate fi considerată atât ca parte a științelor filozofice, cât și ca parte a științelor matematice; mecanică - atât fizică, cât și matematică; informatica, tehnologia calculatoarelor si algoritmii se incadreaza atat in domeniul ingineriei, cat si al stiintelor matematice etc. In literatura de specialitate au fost propuse multe definitii diferite ale matematicii.

Etimologie

Cuvântul „matematică” provine din greaca veche. μάθημα, ceea ce înseamnă studiind, cunoştinţe, ştiinţă, etc.-greacă. μαθηματικός, însemnând inițial receptiv, de succes, mai târziu referitoare la studiu, ulterior legate de matematică. În special, μαθηματικὴ τέχνη , în latină ars matematică, înseamnă arta matematicii. Termenul este greacă veche. μᾰθημᾰτικά în sensul modern al cuvântului „matematică” se găsește deja în lucrările lui Aristotel (sec. IV î.Hr.). Potrivit lui Vasmer, cuvântul a ajuns în limba rusă fie prin poloneză. matematyka, sau prin Lat. matematica.

Definiții

Una dintre primele definiții ale disciplinei matematică a fost dată de Descartes:

Domeniul matematicii include doar acele științe în care sunt luate în considerare fie ordinea, fie măsura și nu este deloc important dacă acestea sunt numere, cifre, stele, sunete sau orice altceva în care se caută această măsură. Astfel, trebuie să existe un fel de știință generală care să explice tot ce ține de ordine și măsură, fără a intra în studiul unor subiecte anume, iar această știință ar trebui numită nu străină, ci vechea denumire de Matematică Universală, care a venit deja. în uz.

Esența matematicii... este prezentată acum ca doctrina relațiilor dintre obiecte despre care nu se știe nimic în afară de unele proprietăți care le descriu - tocmai acelea care, ca axiome, stau la baza teoriei... Matematica este o set de forme abstracte – structuri matematice.

Secțiuni de matematică

1. Matematică cum disciplina academica

Denumiri

Deoarece matematica se ocupă de structuri extrem de variate și destul de complexe, notația ei este și ea foarte complexă. Sistem modernÎnregistrarea formulelor s-a format pe baza tradiției algebrice europene, precum și pe nevoile ramurilor ulterioare ale matematicii - analiza matematică, logica matematică, teoria mulțimilor etc. Din timpuri imemoriale, geometria a folosit o reprezentare vizuală (geometrică). . În matematica modernă, sistemele de notație grafică complexe (de exemplu, diagramele comutative) sunt, de asemenea, frecvente, notația bazată pe grafice.

Scurt istoric

Filosofia matematicii

Obiective și metode

Spaţiu R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), la n > 3 (\displaystyle n>3) este o invenție matematică. Cu toate acestea, este o invenție foarte ingenioasă care ajută la înțelegerea fenomenelor complexe din punct de vedere matematic».

Terenuri

Intuiționismul

Matematică constructivă

clarifica

Principalele subiecte

Cantitate

Secțiunea principală care se ocupă de abstractizarea cantității este algebra. Conceptul de „număr” provine inițial din concepte aritmetice și este legat de numerele naturale. Mai târziu, cu ajutorul algebrei, a fost extins treptat la numere întregi, raționale, reale, complexe și alte numere.

1 , - 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) Numere raționale 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) Numerele reale − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j - 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\puncte) Numerele complexe Cuaternioane

Transformări

Analiza are în vedere fenomenele de transformări și schimbări în cea mai generală formă.

Structuri

Relații spațiale

Geometria examinează fundamentele relațiilor spațiale. Trigonometria examinează proprietățile funcțiilor trigonometrice. Geometria diferențială este studiul obiectelor geometrice prin analiză matematică. Proprietățile spațiilor care rămân neschimbate sub deformații continue și fenomenul de continuitate în sine sunt studiate prin topologie.

Matematică discretă

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Rightarrow P(x")))

Matematica a apărut cu mult timp în urmă. Bărbatul a strâns fructe, a săpat fructe, a prins pește și a depozitat totul pentru iarnă. Pentru a înțelege cât de multă mâncare era depozitată, omul a inventat numărătoarea. Așa a început să apară matematica.

Apoi omul a început să se angajeze în agricultură. Era necesar să se măsoare loturile de teren, să se construiască case și să se măsoare timpul.

Adică, a devenit necesar ca o persoană să folosească relația cantitativă a lumii reale. Determinați cât de multă recoltă a fost recoltată, care este dimensiunea terenului de construcție sau cât de mare este suprafața cerului cu un anumit număr de stele strălucitoare.

În plus, omul a început să determine formele: un soare rotund, o cutie pătrată, un lac oval și modul în care aceste obiecte sunt amplasate în spațiu. Adică, o persoană a început să fie interesată de formele spațiale ale lumii reale.

Astfel, conceptul matematică poate fi definită ca știința relațiilor cantitative și a formelor spațiale ale lumii reale.

În prezent, nu există o singură profesie în care să se poată face fără matematică. Faimosul matematician german Carl Friedrich Gauss, care a fost numit „Regele matematicii”, a spus odată:

„Matematica este regina științelor, aritmetica este regina matematicii.”

Cuvântul „aritmetică” provine din cuvântul grecesc „arithmos” – „număr”.

Astfel, aritmetică este o ramură a matematicii care studiază numerele și operațiile asupra lor.

ÎN scoala elementaraÎn primul rând, ei studiază aritmetica.

Cum s-a dezvoltat această știință, haideți să explorăm această întrebare.

Perioada de naștere a matematicii

Principala perioadă de acumulare a cunoștințelor matematice este considerată a fi perioada anterioară secolului al V-lea î.Hr.

Primul care a început să demonstreze propozițiile matematice a fost gânditorul grec antic, care a trăit în secolul al VII-lea î.Hr., probabil 625 - 545. Acest filosof a călătorit în țările din Orient. Tradițiile spun că a studiat cu preoții egipteni și cu caldeenii babilonieni.

Thales din Milet a adus primele concepte de geometrie elementară din Egipt în Grecia: ce este un diametru, ce determină un triunghi și așa mai departe. El a prezis o eclipsă de soare și a proiectat structuri de inginerie.

În această perioadă s-a dezvoltat treptat aritmetica, astronomia și geometria. Se naște algebra și trigonometria.

Perioada matematicii elementare

Această perioadă începe din VI î.Hr. Acum matematica apare ca o știință cu teorii și dovezi. Apare teoria numerelor, doctrina mărimilor și măsurarea lor.

Cel mai faimos matematician al acestui timp este Euclid. A trăit în secolul al III-lea î.Hr. Acest om este autorul primului tratat teoretic de matematică care a ajuns până la noi.

În lucrările lui Euclid sunt date bazele așa-numitei geometrii euclidiene - acestea sunt axiome care se bazează pe concepte de bază, cum ar fi.

În perioada matematicii elementare a luat naștere teoria numerelor, precum și doctrina mărimilor și măsurarea acestora. Numerele negative și iraționale apar pentru prima dată.

La sfârșitul acestei perioade, se observă crearea algebrei ca calcul literal. Știința „algebrei” însăși apare printre arabi ca știință a rezolvării ecuațiilor. Cuvântul „algebră” în arabă înseamnă „restaurare”, adică transferarea valorilor negative într-o altă parte a ecuației.

Perioada de matematică a variabilelor

Fondatorul acestei perioade este considerat a fi Rene Descartes, care a trăit în secolul al XVII-lea d.Hr. În scrierile sale, Descartes a introdus pentru prima dată conceptul de mărime variabilă.

Datorită acestui fapt, oamenii de știință trec de la studiul cantităților constante la studiul dependențelor dintre cantitățile variabile și la descrierea matematică a mișcării.

Această perioadă a fost cel mai viu caracterizată de Friedrich Engels, în scrierile sale el a scris:

„Momentul de cotitură în matematică a fost variabila carteziană. Datorită acestui fapt, mișcarea și, prin urmare, dialectica au intrat în matematică și, datorită acesteia, calculul diferențial și integral a devenit imediat necesar, care apare imediat și care a fost, în mare, completat și nu inventat de Newton și Leibniz.”

Perioada matematicii moderne

În anii 20 ai secolului al XIX-lea, Nikolai Ivanovich Lobachevsky a devenit fondatorul așa-numitei geometrii non-euclidiene.

Din acest moment începe dezvoltarea celor mai importante ramuri ale matematicii moderne. Cum ar fi teoria probabilității, teoria mulțimilor, statistica matematică și așa mai departe.

Toate aceste descoperiri și cercetări își găsesc aplicații pe scară largă în diverse domenii ale științei.

Și în prezent, știința matematicii se dezvoltă rapid, subiectul matematicii se extinde, inclusiv noi forme și relații, se dovedesc noi teoreme, iar conceptele de bază se aprofundează.

Proprietățile idealizate ale obiectelor studiate sunt fie formulate sub formă de axiome, fie enumerate în definiția obiectelor matematice corespunzătoare. Apoi, conform regulilor stricte de inferență logică, alte proprietăți adevărate (teoreme) sunt deduse din aceste proprietăți. Această teorie formează împreună un model matematic al obiectului studiat. Astfel, inițial, bazată pe relații spațiale și cantitative, matematica primește relații mai abstracte, al căror studiu este și subiectul matematicii moderne.

În mod tradițional, matematica este împărțită în teoretică, care realizează o analiză aprofundată a structurilor intra-matematice, și aplicată, care oferă modelele sale altor științe și discipline de inginerie, dintre care unele ocupă o poziție la granița cu matematica. În special, logica formală poate fi considerată atât ca parte a științelor filozofice, cât și ca parte a științelor matematice; mecanică - atât fizică, cât și matematică; informatica, tehnologia calculatoarelor si algoritmica apartin atat ingineriei cat si stiintelor matematice etc. Multe definitii diferite ale matematicii au fost propuse in literatura de specialitate (vezi).

Etimologie

Cuvântul „matematică” provine din greaca veche. μάθημα ( máthēma), ceea ce înseamnă studiind, cunoştinţe, ştiinţă, etc.-greacă. μαθηματικός ( mathēmatikós), însemnând inițial receptiv, de succes, mai târziu referitoare la studiu, ulterior legate de matematică. În special, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), în latină ars matematică, înseamnă arta matematicii.

Definiții

Domeniul matematicii include doar acele științe în care se consideră fie ordinea, fie măsura și nu este deloc important dacă acestea sunt numere, cifre, stele, sunete sau orice altceva în care se caută această măsură. Astfel, trebuie să existe un fel de știință generală care să explice tot ce ține de ordine și măsură, fără a intra în studiul unor subiecte anume, iar această știință ar trebui numită nu străină, ci vechea denumire de Matematică Universală, care a venit deja. în uz.

În perioada sovietică, definiția din TSB dată de A. N. Kolmogorov a fost considerată clasică:

Matematica... știința relațiilor cantitative și a formelor spațiale ale lumii reale.

Esența matematicii... este prezentată acum ca doctrina relațiilor dintre obiecte despre care nu se știe nimic în afară de unele proprietăți care le descriu - tocmai acelea care, ca axiome, stau la baza teoriei... Matematica este o set de forme abstracte – structuri matematice.

Să dăm câteva definiții mai moderne.

Matematica teoretică modernă („pură”) este știința structurilor matematice, a invarianților matematici ai diferitelor sisteme și procese.

Matematica este o știință care oferă posibilitatea de a calcula modele care pot fi reduse la o formă standard (canonică). Știința găsirii de soluții la modele analitice (analiza) folosind transformări formale.

Secțiuni de matematică

1. Matematică cum disciplina academica subdivizat în Federația Rusă pentru matematica elementara, studiata in liceu si formata din urmatoarele discipline:

• geometrie elementară: planimetrie și stereometrie
• teoria funcţiilor elementare şi elemente de analiză

4. Societatea Americană de Matematică (AMS) a dezvoltat propriul standard pentru clasificarea ramurilor matematicii. Se numește Clasificarea subiectelor de matematică. Acest standard este actualizat periodic. Versiunea actuală este MSC 2010. Versiunea anterioară este MSC 2000.

Denumiri

Deoarece matematica se ocupă de structuri extrem de variate și destul de complexe, sistemul de notație este și el foarte complex. Sistemul modern de scriere a formulelor s-a format pe baza tradiției algebrice europene, precum și a analizei matematice (conceptul de funcție, derivată etc.). Din timpuri imemoriale, geometria a folosit o reprezentare vizuală (geometrică). În matematica modernă, sistemele de notație grafică complexe (de exemplu, diagramele comutative) sunt, de asemenea, frecvente, notația bazată pe grafice.

Scurt istoric

Dezvoltarea matematicii se bazează pe scriere și pe capacitatea de a scrie numere. Probabil, oamenii din vechime au exprimat mai întâi cantitățile desenând linii pe pământ sau zgâriindu-le pe lemn. Vechii incași, neavând alt sistem de scriere, reprezentau și stocau date numerice folosind un sistem complex de noduri de frânghie numit quipus. Au existat multe sisteme de numere diferite. Primele înregistrări cunoscute ale numerelor au fost găsite în Papirusul Ahmes, creat de egiptenii Regatului Mijlociu. Civilizația Indus a dezvoltat sistemul modern de numere zecimale, care includea conceptul de zero.

Din punct de vedere istoric, disciplinele matematice de bază au apărut din necesitatea de a efectua calcule în sfera comercială, în măsurarea terenurilor și de a prezice fenomene astronomice și, ulterior, de a rezolva noi probleme fizice. Fiecare dintre aceste domenii joacă un rol major în dezvoltarea generală a matematicii, care constă în studiul structurilor, spațiilor și modificărilor.

Filosofia matematicii

Obiective și metode

Matematica studiază obiectele imaginare, ideale și relațiile dintre ele folosind limbajul formal. În general, conceptele și teoremele matematice nu au neapărat o corespondență cu nimic din lumea fizică. Sarcina principală a secțiunii aplicate de matematică este de a crea un model matematic care să fie suficient de adecvat obiectului real studiat. Sarcina unui matematician teoretician este de a oferi un set suficient de mijloace convenabile pentru a atinge acest obiectiv.

Conținutul matematicii poate fi definit ca un sistem de modele matematice și instrumente pentru crearea lor. Modelul unui obiect nu ține cont de toate trăsăturile sale, ci doar de cele mai necesare scopurilor de studiu (idealizate). De exemplu, studiul proprietăți fizice portocaliu, ne putem abstra din culoarea și gustul ei și ne putem imagina (chiar dacă nu perfect) ca o minge. Dacă trebuie să înțelegem câte portocale vom obține dacă adunăm două și trei împreună, atunci putem face abstracție din formă, lăsând modelul cu o singură caracteristică - cantitatea. Abstracția și stabilirea de conexiuni între obiecte în cea mai generală formă este una dintre direcțiile principale ale creativității matematice.

O altă direcție, alături de abstractizare, este generalizarea. De exemplu, generalizarea conceptului de „spațiu” la un spațiu de n dimensiuni. " Spațiul este o invenție matematică. Cu toate acestea, este o invenție foarte ingenioasă care ajută la înțelegerea fenomenelor complexe din punct de vedere matematic».

Studiul obiectelor intra-matematice, de regulă, are loc prin metoda axiomatică: mai întâi, se formulează o listă de concepte de bază și axiome pentru obiectele studiate, iar apoi se obțin teoreme semnificative din axiome folosind reguli de inferență, care împreună formează un model matematic.

Terenuri

Problema esenței și fundamentelor matematicii a fost discutată încă de pe vremea lui Platon. Începând cu secolul al XX-lea, a existat un acord comparativ cu privire la ceea ce ar trebui considerat o demonstrație matematică riguroasă, dar a existat puțin acord cu privire la ceea ce în matematică ar trebui considerat în mod inerent adevărat. Acest lucru duce la dezacorduri atât în ​​chestiunile de axiomatică și interrelațiile dintre ramurile matematicii, cât și în alegerea sistemelor logice care ar trebui folosite în demonstrații.

Pe lângă cea sceptică, sunt cunoscute următoarele abordări ale acestei probleme.

Abordare teoretică a seturilor

Se propune să se ia în considerare toate obiectele matematice în cadrul teoriei mulțimilor, cel mai adesea cu axiomatica Zermelo-Frenkel (deși există multe altele echivalente cu aceasta). Această abordare a fost considerată predominantă încă de la mijlocul secolului al XX-lea, dar în realitate majoritatea lucrărilor de matematică nu își propun să-și traducă enunțurile strict în limbajul teoriei mulțimilor, ci operează cu concepte și fapte stabilite în unele domenii ale matematicii. Astfel, dacă se descoperă o contradicție în teoria mulțimilor, aceasta nu va implica invalidarea majorității rezultatelor.

Logicism

Această abordare presupune o tastare strictă a obiectelor matematice. Multe paradoxuri, evitate în teoria mulțimilor doar prin trucuri speciale, se dovedesc a fi imposibile în principiu.

Formalism

Această abordare implică studiul sistemelor formale bazate pe logica clasică.

Intuiționismul

Intuiționismul presupune că matematica se bazează pe logica intuiționistă, care este mai limitată în mijloacele sale de demonstrare (dar se crede că este mai de încredere). Intuiționismul respinge dovezile prin contradicție, multe dovezi neconstructive devin imposibile și multe probleme ale teoriei mulțimilor devin lipsite de sens (neformalizabile).

Matematică constructivă

Matematica constructivă este o mișcare în matematică apropiată de intuiționism care studiază construcțiile constructive. clarifica] . Conform criteriului constructivității - „ a exista înseamnă a fi construit" Criteriul constructivității este o cerință mai puternică decât criteriul consistenței.

Principalele subiecte

Numerele

Conceptul de „număr” se referea inițial la numere naturale. Mai târziu a fost extins treptat la numere întregi, raționale, reale, complexe și alte numere.

numere întregi Numere raționale Numerele reale Numerele complexe Cuaternioane

Sisteme numerice
Numărând seturi	Numere naturale () Numere întregi () Raționale () Algebrice () Perioade Aritmetică calculabilă
Numerele reale și extensiile acestora	Reale () Complexe () Quaternioni () Numerele Cayley (octave, octonioni) () Cedenioni () Alternioni Procedura Cayley-Dixon Hipercomplex dublu Superreal Hiperreal Număr suprarealist ( engleză)
Alte sisteme de numere	Numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) Numere supranaturale p-adice
Vezi de asemenea	Numere duble Numere iraționale Raza numerelor transcendentale Biquaternion

Transformări

Matematică discretă

Codurile în sistemele de clasificare a cunoștințelor

Servicii online

Există număr mare site-uri care oferă servicii pentru calcule matematice. Majoritatea vorbesc engleza. Dintre cei vorbitori de limbă rusă se remarcă serviciul de interogare matematică motor de căutare Nigma.

Vezi de asemenea

Popularizatorii științei

Note

1. Enciclopedia Britannica
2. Dicţionar Webster's Online
3. Capitolul 2. Matematica ca limbaj al științei. Universitatea Deschisă din Siberia. Arhivat din original pe 2 februarie 2012. Consultat la 5 octombrie 2010.
4. Dicționar mare grecesc antic (αω)
5. Dicționar al limbii ruse secolele XI-XVII. Numărul 9 / Cap. ed. F. P. Filin. - M.: Nauka, 1982. - P. 41.
6. Descartes R. Reguli pentru ghidarea minții. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
7. Vezi: Matematică TSB
8. Marx K., Engels F. eseuri. a 2-a ed. Or. 20. P. 37.
9. Bourbaki N. Arhitectura matematicii. Eseuri despre istoria matematicii / Traducere de I. G. Bashmakova, ed. K. A. Rybnikova. M.: IL, 1963. P. 32, 258.
10. Kaziev V. M. Introducere în matematică
11. Mukhin O. I. Modelarea sistemului Tutorial. Perm: RCI PSTU.
12. Hermann Weil // Klein M.. - M.: Mir, 1984. - P. 16.
13. Standardul educațional de stat al învățământului superior învăţământul profesional. Specialitatea 01.01.00. "Matematică". Calificare - Matematician. Moscova, 2000 (Compilat sub conducerea lui O. B. Lupanov)
14. Nomenclatorul specialităților lucrătorilor științifici, aprobat prin ordin al Ministerului Educației și Științei din Rusia din 25 februarie 2009 nr. 59
15. UDC 51 Matematică
16. Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky. Elemente de algebră liniară și geometrie analitică. M.: Nauka, 1988. P. 44.
17. N. I. Kondakov. Dicționar logic - carte de referință. M.: Nauka, 1975. P. 259.
18. G. I. Ruzavin. Despre natura cunoștințelor matematice. M.: 1968.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. De exemplu: http://mathworld.wolfram.com

Literatură

Enciclopedii

• // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron: În 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
• Enciclopedie matematică (5 volume), anii 1980. // Cărți de referință generale și speciale despre matematică pe EqWorld
• Kondakov N. I. Dicționar logic - carte de referință. M.: Nauka, 1975.
• Enciclopedia științelor matematice și aplicațiile lor (germană) 1899-1934. (cel mai mare studiu al literaturii secolului al XIX-lea)

Directoare

• G. Korn, T. Korn. Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri M., 1973.

Cărți

• Klein M. Matematică. Pierderea certitudinii. - M.: Mir, 1984.
• Klein M. Matematică. Caută adevărul. M.: Mir, 1988.
• Klein F. Matematică elementară din punct de vedere superior.

• Volumul I. Aritmetica. Algebră. Analiza M.: Nauka, 1987. 432 p.
• Volumul II. Geometrie M.: Nauka, 1987. 416 p.

• Courant R., G. Robbins. Ce este matematica? Ed. a 3-a, rev. si suplimentare - M.: 2001. 568 p.
• Pisarevsky B.M., Kharin V.T. Despre matematică, matematicieni și multe altele. - M.: Binom. Laboratorul de cunoștințe, 2012. - 302 p.
• Poincare A.Știință și metodă (rusă) (franceză)

Matematica este una dintre cele mai vechi științe. A da o scurtă definiție a matematicii nu este deloc ușor conținutul acesteia va varia foarte mult în funcție de nivelul de educație matematică a unei persoane. Un elev de școală primară care tocmai a început să studieze aritmetica va spune că matematica studiază regulile de numărare a obiectelor. Și va avea dreptate, deoarece exact asta se familiarizează la început. Elevii mai mari vor adăuga la cele spuse că conceptul de matematică include algebra și studiul obiectelor geometrice: linii, intersecțiile acestora, figuri plane, corpuri geometrice, diferite tipuri de transformări. Absolvenții de liceu vor include în definiția matematicii și studiul funcțiilor și acțiunea de trecere la limită, precum și conceptele aferente de derivată și integrală. Absolvenți de tehnică superioară institutii de invatamant sau facultățile de științe naturale ale universităților și institutelor pedagogice nu se vor mai mulțumi cu definițiile școlare, deoarece știu că matematica include și alte discipline: teoria probabilităților, statistica matematică, calculul diferențial, programarea, metodele de calcul, precum și aplicarea acestor discipline. pentru modelarea proceselor de producție, prelucrarea datelor experimentale, transmiterea și prelucrarea informațiilor. Totuși, ceea ce este enumerat nu epuizează conținutul matematicii. Teoria mulțimilor, logica matematică, controlul optim, teoria proceselor aleatoare și multe altele sunt, de asemenea, incluse în componența sa.

Încercările de a defini matematica prin enumerarea ramurilor sale constitutive ne conduc în rătăcire, deoarece nu dau o idee despre ce anume studiază matematica și care este relația acesteia cu lumea din jurul nostru. Dacă s-ar pune o întrebare similară unui fizician, biolog sau astronom, fiecare dintre ei ar da un răspuns foarte scurt, fără a conține o listă a părților care alcătuiesc știința pe care o studiază. Un astfel de răspuns ar conține o indicație a fenomenelor naturale pe care ea le studiază. De exemplu, un biolog ar afirma că biologia este studiul diferitelor manifestări ale vieții. Fie ca acest răspuns să nu fie complet complet, deoarece nu spune ce sunt viața și fenomenele vitale, dar totuși o astfel de definiție ar oferi o idee destul de completă a conținutului științei biologiei în sine și a diferitelor niveluri ale acestei științe. Și această definiție nu s-ar schimba odată cu extinderea cunoștințelor noastre despre biologie.

Nu există fenomene naturale, procese tehnice sau sociale care să facă obiectul studiului matematicii, dar să nu fie legate de fenomene fizice, biologice, chimice, inginerești sau sociale. Fiecare disciplină de științe naturale: biologie și fizică, chimie și psihologie - este determinată de trăsăturile materiale ale subiectului său, caracteristicile specifice zonei din lumea reală pe care o studiază. Obiectul sau fenomenul în sine poate fi studiat prin diferite metode, inclusiv prin cele matematice, dar prin schimbarea metodelor rămânem totuși în limitele acestei discipline, întrucât conținutul acestei științe este obiectul real, și nu metoda cercetării. Pentru matematică, subiectul material al cercetării nu are o importanță decisivă metoda folosită; De exemplu, funcții trigonometrice poate fi folosit pentru a studia mișcarea oscilativă și pentru a determina înălțimea unui obiect inaccesibil. Ce fenomene din lumea reală pot fi studiate folosind metoda matematică? Aceste fenomene sunt determinate nu de natura lor materială, ci exclusiv de proprietățile structurale formale și mai ales de acele relații cantitative și forme spațiale în care există.

Deci, matematica studiază nu obiectele materiale, ci metodele de cercetare și proprietățile structurale ale obiectului de studiu, care fac posibilă aplicarea anumitor operații asupra acestuia (sumare, diferențiere etc.). Cu toate acestea, o parte semnificativă a problemelor, conceptelor și teoriilor matematice au drept sursă principală fenomene și procese reale. De exemplu, aritmetica și teoria numerelor au apărut din sarcina practică principală de numărare a obiectelor. Geometria elementară și-a avut sursa în problemele asociate cu compararea distanțelor, calculul ariilor figurilor plate sau volumelor corpurilor spațiale. Toate acestea trebuiau găsite, deoarece era necesară redistribuirea terenuriîntre utilizatori, calculați dimensiunea hambarelor sau a volumelor terasamenteîn timpul construcţiei structurilor de apărare.

Un rezultat matematic are proprietatea că poate fi utilizat nu numai în studiul unui anumit fenomen sau proces, ci și pentru a studia alte fenomene, a căror natură fizică este fundamental diferită de cele considerate anterior. Astfel, regulile aritmeticii sunt aplicabile atât în ​​problemele economice, cât și în probleme tehnice, și la rezolvarea problemelor agricultură, și în cercetarea științifică. Regulile aritmetice au fost dezvoltate cu mii de ani în urmă, dar și-au păstrat valoarea aplicată pentru eternitate. Aritmetica este o parte integrantă a matematicii; partea sa tradițională nu mai este supusă dezvoltare creativăîn cadrul matematicii, dar are și va continua să găsească numeroase aplicații noi. Aceste aplicații pot fi de mare importanță pentru umanitate, dar nu vor mai aduce o contribuție la matematică în sine.

Matematica, ca forță creatoare, are ca scop dezvoltarea reguli generale, care ar trebui folosit în numeroase cazuri speciale. Cel care creează aceste reguli creează ceva nou, creează. Oricine aplică reguli gata făcute nu mai creează în matematică însăși, ci, foarte posibil, creează noi valori în alte domenii de cunoaștere cu ajutorul regulilor matematice. De exemplu, astăzi datele din interpretarea imaginilor spațiale, precum și informații despre compoziția și vârsta rocilor, anomaliile geochimice și geofizice sunt procesate cu ajutorul computerelor. Nu există nicio îndoială că utilizarea computerelor în cercetarea geologică lasă aceste studii geologice. Principiile de funcționare ale computerelor și software-ul lor au fost dezvoltate fără a ține cont de posibilitatea utilizării lor în interesul științei geologice. Această posibilitate în sine este determinată de faptul că proprietățile structurale ale datelor geologice sunt în conformitate cu logica anumitor programe de calculator.

Primit răspândită două definiții ale matematicii. Primul dintre ele a fost dat de F. Engels în lucrarea „Anti-Dühring”, celălalt de un grup de matematicieni francezi cunoscut sub numele de Nicolas Bourbaki, în articolul „Arhitectura matematicii” (1948).

„Matematica pură are ca obiect formele spațiale și relațiile cantitative ale lumii reale.” Această definiție nu numai că descrie obiectul de studiu al matematicii, ci indică și originea acestuia - lumea actuală. Totuși, această definiție a lui F. Engels reflectă în mare măsură starea matematicii din a doua jumătate a secolului al XIX-lea. și nu ia în considerare acele noi zone ale acestuia care nu sunt direct legate nici de relații cantitative, nici de forme geometrice. Aceasta este, în primul rând, logica matematică și disciplinele legate de programare. Prin urmare, această definiție necesită unele clarificări. Poate că ar trebui spus că matematica are ca obiect de studiu forme spațiale, relații cantitative și construcții logice.

Soții Bourbaki susțin că „singurele obiecte matematice sunt, strict vorbind, structurile matematice”. Cu alte cuvinte, matematica ar trebui definită ca știința structurilor matematice. Această definiție este în esență o tautologie, deoarece afirmă un singur lucru: matematica se preocupă de obiectele pe care le studiază. Un alt defect al acestei definiții este că nu clarifică relația dintre matematică și lumea din jurul nostru. Mai mult, soții Bourbaki subliniază că structurile matematice sunt create independent de lumea reală și de fenomenele acesteia. Iată de ce soții Bourbaki au fost nevoiți să declare că „problema principală este relația dintre lumea experimentală și lumea matematică. Faptul că există o legătură strânsă între fenomenele experimentale și structurile matematice pare să fi fost confirmat într-un mod complet neașteptat de descoperirile fizicii moderne, dar motivele profunde pentru aceasta ne sunt complet necunoscute... și poate că nu le vom ști niciodată. .”

O astfel de concluzie dezamăgitoare nu poate rezulta din definiția lui F. Engels, deoarece conține deja afirmația că conceptele matematice sunt abstracții din anumite relații și forme ale lumii reale. Aceste concepte sunt preluate și legate de lumea reală. În esență, tocmai aceasta explică aplicabilitatea uimitoare a rezultatelor matematicii la fenomenele lumii din jurul nostru și, în același timp, succesul procesului de matematizare a cunoștințelor.

Matematica nu face excepție de la toate domeniile cunoașterii - formează și concepte care apar din situații practice și abstracțiuni ulterioare; ne permite să studiem realitatea și aproximativ. Dar trebuie avut în vedere că matematica nu studiază lucruri din lumea reală, ci concepte abstracte și că concluziile sale logice sunt absolut stricte și precise. Aproximarea sa nu este de natură internă, ci este asociată cu compilarea unui model matematic al fenomenului. Să remarcăm, de asemenea, că regulile matematicii nu au aplicabilitate absolută, ele au și un domeniu limitat de aplicare în care domnesc suprem. Să lămurim această idee cu un exemplu: se dovedește că doi și doi nu sunt întotdeauna egal cu patru. Se știe că la amestecarea a 2 litri de alcool și 2 litri de apă se obțin mai puțin de 4 litri de amestec. În acest amestec, moleculele sunt dispuse mai compact, iar volumul amestecului este mai mic decât suma volumelor componentelor constitutive. Regula de adunare a aritmeticii este încălcată. De asemenea, puteți da exemple în care sunt încălcate alte adevăruri ale aritmeticii, de exemplu, la adăugarea unor obiecte, se dovedește că suma depinde de ordinea însumării.

Mulți matematicieni consideră conceptele matematice nu ca o creație a rațiunii pure, ci ca abstracții din lucruri, fenomene, procese sau abstracții deja existente (abstracții de ordin superior). În „Dialectica naturii” F. Engels a scris că „... toată așa-numita matematică pură se ocupă de abstracții... toate cantitățile ei sunt, strict vorbind, cantități imaginare...” Aceste cuvinte reflectă destul de clar opinia unuia. a fondatorilor filozofiei marxiste despre rolul abstracţiilor în matematică. Ar trebui doar să adăugăm că toate aceste „cantități imaginare” sunt preluate din realitatea reală și nu sunt construite în mod arbitrar, prin zborul liber al gândirii. Așa a intrat în uz general conceptul de număr. La început, acestea au fost numere în interiorul unităților și, în plus, doar numere întregi pozitive. Apoi, experiența m-a forțat să-mi extind arsenalul de numere la zeci și sute. Ideea numărului nelimitat de numere întregi s-a născut într-o epocă apropiată din punct de vedere istoric: Arhimede în cartea sa „Psammit” („Calcul granulelor de nisip”) a arătat cum este posibil să se construiască numere chiar mai mari decât cele date. În același timp, din nevoi practice, a luat naștere conceptul de numere fracționale. Calculele legate de cele mai simple figuri geometrice au condus omenirea la numere noi – iraționale. Așa s-a format treptat ideea mulțimii tuturor numerelor reale.

Aceeași cale poate fi urmată pentru orice alte concepte de matematică. Toate au apărut din nevoi practice și s-au format treptat în concepte abstracte. Se pot aminti din nou cuvintele lui F. Engels: „...matematica pură are o semnificație independentă de experiența specială a fiecărui individ... Dar este complet fals că în matematica pură mintea se ocupă doar de produsele sale proprii. creativitate și imaginație. Conceptele de număr și figură nu sunt preluate de nicăieri, ci doar din lumea reală. Cele zece degete pe care oamenii au învățat să numere, adică să efectueze prima operație aritmetică, sunt orice altceva decât un produs al creativității libere a minții. Pentru a număra, nu trebuie doar să aveți obiecte care pot fi numărate, ci și să aveți capacitatea de a abstrage atunci când luăm în considerare aceste obiecte din toate celelalte proprietăți, cu excepția numărului, iar această abilitate este rezultatul unei lungi dezvoltări istorice bazate pe experiență. Atât conceptul de număr, cât și conceptul de figură sunt împrumutate exclusiv din lumea exterioară și nu au apărut în cap din gândirea pură. Trebuiau să existe lucruri care să aibă o anumită formă, iar aceste forme trebuiau comparate înainte de a se putea ajunge la conceptul unei figuri.”

Să luăm în considerare dacă există concepte în știință care au fost create fără legătură cu progresul trecut al științei și cu progresul actual al practicii. Știm foarte bine că creativitatea științifică matematică este precedată de studiul multor materii la școală, universitate, lectură de cărți, articole, conversații cu experți atât din domeniul propriu, cât și din alte domenii ale cunoașterii. Un matematician trăiește în societate și, din cărți, la radio și din alte surse, învață despre problemele care apar în știință, inginerie și viața publică. În plus, gândirea cercetătorului este influențată de întreaga evoluție anterioară a gândirii științifice. Prin urmare, se dovedește a fi pregătit să rezolve anumite probleme necesare progresului științei. De aceea, un om de știință nu poate pune probleme în mod arbitrar, dintr-un capriciu, ci trebuie să creeze concepte și teorii matematice care ar fi valoroase pentru știință, pentru alți cercetători, pentru umanitate. Dar teoriile matematice își păstrează semnificația în condițiile diferitelor formațiuni sociale și epoci istorice. În plus, oamenii de știință care nu sunt în niciun fel conectați între ei au adesea aceleași idei. Acesta este un argument suplimentar împotriva celor care aderă la conceptul de creativitate liberă a conceptelor matematice.

Așadar, am explicat ce este inclus în conceptul de „matematică”. Dar există și matematică aplicată. Este înțeles ca totalitatea tuturor metodelor și disciplinelor matematice care își găsesc aplicații în afara matematicii. În antichitate, geometria și aritmetica reprezentau toată matematica și, întrucât ambele și-au găsit numeroase aplicații în schimburile comerciale, măsurarea suprafețelor și volumelor, precum și în materie de navigație, toată matematica nu era doar teoretică, ci și aplicată. Mai târziu, în Grecia antică, a apărut o împărțire în matematică și matematică aplicată. Cu toate acestea, toți matematicienii remarcabili au fost, de asemenea, implicați în aplicații, și nu doar în cercetarea pur teoretică.

Dezvoltarea ulterioară a matematicii a fost continuu legată de progresul științelor naturale, tehnologiei și apariția unor noi nevoi sociale. Până la sfârșitul secolului al XVIII-lea. a apărut necesitatea (în primul rând în legătură cu problemele navigației și artileriei) de a crea o teorie matematică a mișcării. G. W. Leibniz și I. Newton au făcut acest lucru în lucrările lor. Matematica aplicată a fost completată cu o nouă metodă de cercetare foarte puternică - analiza matematică. Aproape simultan, nevoile demografiei și asigurărilor au dus la formarea începuturilor teoriei probabilităților (vezi Teoria probabilității). secolele XVIII și XIX. a extins conţinutul matematicii aplicate prin adăugarea de teorie ecuații diferențiale derivate ordinare și parțiale, ecuații ale fizicii matematice, elemente de statistică matematică, geometrie diferențială. secolul XX a adus noi metode pentru studiul matematic al problemelor practice: teoria proceselor aleatoare, teoria grafurilor, analiza funcțională, controlul optim, programarea liniară și neliniară. Mai mult, s-a dovedit că teoria numerelor și algebra abstractă aveau aplicații neașteptate la problemele de fizică. Ca urmare, a început să apară credința că matematica aplicată ca disciplină separată nu există și toată matematica poate fi considerată aplicată. Poate că trebuie să vorbim nu despre faptul că matematica este aplicată și teoretică, ci despre faptul că matematicienii sunt împărțiți în aplicați și teoreticieni. Pentru unii, matematica este o metodă de înțelegere a lumii din jurul nostru și a fenomenelor care au loc în ea, în acest scop un om de știință dezvoltă și extinde cunoștințele matematice. Pentru alții, matematica în sine reprezintă o lume întreagă demnă de studiu și dezvoltare. Pentru progresul științei, sunt necesari oameni de știință de ambele tipuri.

Matematica, înainte de a studia orice fenomen folosind metode proprii, își creează modelul matematic, adică enumeră toate acele trăsături ale fenomenului care vor fi luate în considerare. Modelul îl obligă pe cercetător să aleagă acele instrumente matematice care îi vor permite să transmită în mod adecvat trăsăturile fenomenului studiat și evoluția acestuia. Ca exemplu, să luăm un model al unui sistem planetar: Soarele și planetele sunt considerate puncte materiale cu masele corespunzătoare. Interacțiunea fiecărui două puncte este determinată de forța de atracție dintre ele

unde m 1 și m 2 sunt masele punctelor care interacționează, r este distanța dintre ele și f este constanta gravitațională. În ciuda simplității acestui model, în ultimii trei sute de ani a transmis cu mare acuratețe caracteristicile mișcării planetelor sistemului solar.

Desigur, fiecare model aspre realitatea, iar sarcina cercetătorului este, în primul rând, de a propune un model care, pe de o parte, să transmită cel mai pe deplin latura faptică a problemei (cum se spune, trăsăturile sale fizice), iar pe pe de altă parte, oferă o aproximare semnificativă a realității. Desigur, pentru același fenomen pot fi propuse mai multe modele matematice. Toți au dreptul de a exista până când o discrepanță semnificativă între model și realitate începe să-i afecteze.

Matematica, ca știință despre relațiile cantitative și formele spațiale ale realității, studiază lumea din jurul nostru, fenomenele naturale și sociale. Dar spre deosebire de alte științe, matematica studiază proprietățile lor speciale, făcând abstracție de la altele. Astfel, geometria studiază forma și dimensiunea obiectelor, fără a ține cont de celelalte proprietăți ale acestora: culoare, masă, duritate etc. În general, obiectele matematice (figura geometrică, număr, mărime) sunt create de mintea umană și există doar în gândirea umană, în semne și simboluri care formează limbajul matematic.

Natura abstractă a matematicii îi permite să fie aplicată într-o mare varietate de domenii și este un instrument puternic pentru înțelegerea naturii.

Formele de cunoaștere sunt împărțite în două grupuri.

Primul grup constituie forme de cunoaștere senzorială, desfășurate cu ajutorul diverselor simțuri: vedere, auz, miros, atingere, gust.

Co. al doilea grup includ forme de gândire abstractă, în primul rând concepte, afirmații și inferențe.

Formele cunoaşterii senzoriale sunt senzatii, percepţieŞi depuneri.

Fiecare obiect are nu una, ci multe proprietăți și le cunoaștem prin senzații.

Sentiment- aceasta este o reflectare a proprietăților individuale ale obiectelor sau fenomenelor din lumea materială, care ne afectează direct (adică acum, în acest moment) simțurile noastre. Acestea sunt senzații de roșu, cald, rotund, verde, dulce, neted și alte proprietăți individuale ale obiectelor [Getmanova, p. 7].

Percepția unui obiect întreg este alcătuită din senzații individuale. De exemplu, percepția unui măr este compusă din următoarele senzații: sferică, roșie, dulce-acrișoară, aromatică etc.

Percepţie este o reflectare holistică a unui obiect material exterior care ne afectează direct simțurile [Getmanova, p. 8]. De exemplu, imaginea unei farfurii, a unei cani, a unei linguri, a altor ustensile; imaginea unui râu, dacă acum plutim de-a lungul lui sau ne aflăm pe malul lui; imaginea unei păduri, dacă am ajuns acum în pădure etc.

Percepțiile, deși sunt o reflectare senzorială a realității în mintea noastră, depind în mare măsură de experiența umană. De exemplu, un biolog va percepe o pajiște într-un fel (el va vedea diverse tipuri plante), dar un turist sau un artist este complet diferit.

Performanţă- aceasta este o imagine senzorială a unui obiect care nu este perceput în prezent de noi, dar care a fost anterior perceput de noi într-o formă sau alta [Getmanova, p. 10]. De exemplu, ne putem imagina vizual chipurile prietenilor, camera noastră din casă, un mesteacăn sau o ciupercă. Acestea sunt exemple reproducerea reprezentări, din moment ce am văzut aceste obiecte.

Prezentarea poate fi creativ, inclusiv fantastic. Vă prezentăm pe frumoasa Prințesă Lebădă, sau Țarul Saltan, sau Cocoșul de Aur, și multe alte personaje din basmele lui A.S. Pușkin, pe care nu l-am văzut și nu-l vom vedea niciodată. Acestea sunt exemple de reprezentare creativă bazată pe descrierea verbală. Ne imaginăm și Fecioara Zăpezii, Părintele Frost, sirena etc.

Deci, formele cunoașterii senzoriale sunt senzațiile, percepțiile și ideile. Cu ajutorul lor, învățăm aspectele externe ale unui obiect (semnele acestuia, inclusiv proprietățile).

Formele gândirii abstracte sunt concepte, afirmații și inferențe.

Concepte. Domeniul de aplicare și conținutul conceptelor

Termenul „concept” este de obicei folosit pentru a desemna o întreagă clasă de obiecte de natură arbitrară care au o anumită proprietate caracteristică (distinctivă, esențială) sau un întreg set de astfel de proprietăți, de ex. proprietăți inerente numai elementelor acestei clase.

Din punct de vedere al logicii, un concept este o formă specială de gândire, care se caracterizează prin următoarele: 1) un concept este un produs al materiei înalt organizate; 2) conceptul reflectă lumea materială; 3) conceptul apare în conștiință ca mijloc de generalizare; 4) conceptul înseamnă activitate specific umană; 5) formarea unui concept în mintea unei persoane este inseparabilă de exprimarea lui prin vorbire, scriere sau simbol.

Cum apare conceptul oricărui obiect al realității în conștiința noastră?

Procesul de formare a unui anumit concept este un proces gradual în care pot fi văzute mai multe etape succesive. Să luăm în considerare acest proces folosind cel mai simplu exemplu - formarea la copii a conceptului de număr 3.

1. În prima etapă a cunoașterii, copiii se familiarizează cu diverse seturi concrete, folosind imagini cu obiecte și demonstrând diverse seturi de trei elemente (trei mere, trei cărți, trei creioane etc.). Copiii nu numai că văd fiecare dintre aceste seturi, dar pot și atinge (atinge) obiectele care compun aceste seturi. Acest proces de „vedere” creează în mintea copilului o formă specială de reflectare a realității, care se numește percepție (senzație).

2. Să înlăturăm obiectele (subiectele) care alcătuiesc fiecare set și să invităm copiii să stabilească dacă a existat ceva în comun care a caracterizat fiecare set. Numărul de obiecte din fiecare set, faptul că erau „trei” peste tot, ar fi trebuit să se întipărească în mintea copiilor. Dacă este așa, atunci a fost creată o nouă formă în mintea copiilor - ideea numărului „trei”.

3. În etapa următoare, pe baza unui experiment de gândire, copiii ar trebui să vadă că proprietatea exprimată în cuvântul „trei” caracterizează orice set diverse elemente tip (a; b; c). Aceasta va evidenția o caracteristică comună esențială a unor astfel de seturi: „să aibă trei elemente”. Acum putem spune că în mintea copiilor se formează conceptul de numărul 3.

Concept- aceasta este o formă specială de gândire care reflectă proprietățile esențiale (distinctive) ale obiectelor sau obiectelor de studiu.

Forma lingvistică a unui concept este un cuvânt sau un grup de cuvinte. De exemplu, „triunghi”, „numărul trei”, „punct”, „linie dreaptă”, „triunghi isoscel”, „plantă”, „conifere”, „râul Yenisei”, „masă”, etc.

Conceptele matematice au o serie de caracteristici. Principalul lucru este că obiectele matematice despre care este necesar să se formuleze un concept nu există în realitate. Obiectele matematice sunt create de mintea umană. Acestea sunt obiecte ideale care reflectă obiecte sau fenomene reale. De exemplu, în geometrie ei studiază forma și dimensiunea obiectelor fără a ține cont de celelalte proprietăți ale acestora: culoare, masă, duritate etc. Sunt distrași de la toate acestea, abstrași. Prin urmare, în geometrie, în loc de cuvântul „obiect” se spune „figură geometrică”. Rezultatul abstractizării sunt concepte matematice precum „număr” și „magnitudine”.

Principalele caracteristici orice conceptele sunt următoarele: 1) volum; 2) conţinut; 3) relaţiile dintre concepte.

Când se vorbește despre un concept matematic, ele înseamnă de obicei întregul set (mult) de obiecte notate printr-un singur termen (cuvânt sau grup de cuvinte). Deci, când vorbim despre un pătrat, ne referim la tot forme geometrice, care sunt pătrate. Se crede că setul tuturor pătratelor constituie domeniul de aplicare al conceptului „pătrat”.

Sfera conceptului se referă la ansamblul de obiecte sau elemente cărora li se aplică acest concept.

De exemplu, 1) domeniul de aplicare al conceptului „paralelogram” este setul de patrulatere, cum ar fi paralelogramele în sine, romburi, dreptunghiuri și pătrate; 2) domeniul de aplicare al conceptului „număr natural dintr-o singură cifră” va fi setul - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Orice obiect matematic are anumite proprietăți. De exemplu, un pătrat are patru laturi, patru unghiuri drepte, diagonale egale, diagonalele sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție. Puteți specifica celelalte proprietăți ale acestuia, dar printre proprietățile unui obiect există esențial (distinctiv)Şi nesemnificativ.

Proprietatea se numește semnificativ (distinctiv) pentru un obiect, dacă este inerent acestui obiect și fără el nu poate exista; proprietatea se numeste nesemnificativ pentru un obiect dacă poate exista fără el.

De exemplu, pentru un pătrat toate proprietățile enumerate mai sus sunt esențiale. Proprietatea „latura AD este orizontală” va fi neimportantă pentru pătratul ABCD (Fig. 1). Dacă acest pătrat este rotit, atunci latura AD va fi verticală.

Să ne uităm la un exemplu pentru preșcolari care folosesc material vizual (Fig. 2):

Descrieți figura.

Mic triunghi negru. Orez. 2

Triunghi alb mare.

Cum se aseamănă cifrele?

Cu ce ​​sunt diferite cifrele?

Culoare, dimensiune.

Ce are un triunghi?

3 laturi, 3 colturi.

Astfel, copiii află proprietățile esențiale și neesențiale ale conceptului „triunghi”. Proprietățile esențiale sunt „a avea trei laturi și trei unghiuri”, proprietățile neesențiale sunt culoarea și dimensiunea.

Se numește setul tuturor proprietăților esențiale (distinctive) ale unui obiect sau articol reflectate într-un concept dat continutul conceptului .

De exemplu, pentru conceptul „paralelogram” conținutul este un set de proprietăți: are patru laturi, are patru unghiuri, laturile opuse sunt paralele în perechi, laturile opuse sunt egale, unghiurile opuse sunt egale, diagonalele la punctele de intersecție sunt împărțite la jumătate. .

Există o legătură între volumul unui concept și conținutul său: dacă volumul unui concept crește, atunci conținutul acestuia scade și invers. Deci, de exemplu, domeniul de aplicare al conceptului „triunghi isoscel” face parte din domeniul de aplicare al conceptului „triunghi”, iar conținutul conceptului „triunghi isoscel” include mai multe proprietăți decât conținutul conceptului „triunghi”, deoarece un triunghi isoscel are nu numai toate proprietățile unui triunghi, ci și altele inerente doar triunghiurilor isoscel („două laturi sunt egale”, „două unghiuri sunt egale”, „două mediane sunt egale”, etc.).

După sfera de aplicare, conceptele sunt împărțite în singur, generalŞi categorii.

Un concept al cărui volum este egal cu 1 se numește concept unic .

De exemplu, conceptele: „Râul Yenisei”, „Republica Tuva”, „orașul Moscovei”.

Se numesc concepte al căror volum este mai mare decât 1 general .

De exemplu, conceptele: „oraș”, „râu”, „patraunghi”, „număr”, „poligon”, „ecuație”.

În procesul studierii elementelor de bază ale oricărei științe, copiii formează în principal concepte generale. De exemplu, în școala primară, elevii se familiarizează cu concepte precum „cifră”, „număr”, „numere dintr-o singură cifră”, „numere din două cifre”, „numere cu mai multe cifre”, „fracție”, „fracție” , „adunare”, „adunare”, „suma”, „scădere”, „scădere”, „minuend”, „diferență”, „înmulțire”, „înmulțire”, „produs”, „diviziune”, „dividend”, „ divizor”, „cot”, „bilă”, „cilindru”, „con”, „cub”, „paralelepiped”, „piramidă”, „unghi”, „triunghi”, „patraunghi”, „pătrat”, „dreptunghi” , „poligon”, „cerc” , „cerc”, „curbă”, „linie întreruptă”, „segment”, „lungimea segmentului”, „rază”, „linie dreaptă”, „punct”, „lungime”, „lățime” ”, „înălțime”, „perimetru”, „zona figurii”, „volum”, „timp”, „viteză”, „masă”, „preț”, „cost” și multe altele. Toate aceste concepte sunt concepte generale.